Salvador Vera

4.4. DIFERENCIABILIDAD 241
Ejemplo 4.23. Estudiar la continuidad y la diferenciabilidad en el origen
de la siguiente función y, en su caso, hallar su diferencial en ese punto.
Solución.
f(x, y) =
xy
x 2 + y 2 si (x, y) = (0, 0)
0 si (x, y) =(0, 0)
(a) Continuidad: Nos acercamos al origen a través de la recta y = mx
xy
lím
(x,y)→(0,0) x2 = lím
+ y2 luego la función no es continua en (0, 0)
xmx
y=mx x
x→0
2 + m2 m
= = f(m)
x2 1+m2 (b) Diferenciabilidad: Al no ser continua la función en el punto (0, 0) no
puede ser diferenciable en dicho punto, en consecuencia resulta que
df (0, 0) no existe.
Ejemplo 4.24. Estudiar la continuidad y la diferenciabilidad en el origen
de la siguiente función y, en su caso, hallar su diferencial en ese punto.
Solución.
f(x, y) =
x 2 + y 2
(a) Continuidad: La función es continua en (0, 0), en efecto
lím
(x,y)→(0,0)
√
x2 + y2 = 02 +02 = 0 + =0=f(0, 0)
(b) Diferenciabilidad: Las derivadas parciales en el origen no existen, en
efecto
√ √
∂f
f(h, 0) − f(0, 0) h2 +02 − 0 h2 (0, 0) = lím
=lím
=lím
∂x h→0 h
h→0 h
h→0 h =lím
|h|
h→0 h
ydicholímite no existe, puesto que
lím
h→0 +
|h|
=1 y lím
h h→0− |h|
= −1
h
Luego, la función no es diferenciable en el origen por no existir las
derivadas parciales en dicho punto y ser la existencia de las derivadas
parciales en un punto p una condición necesaria para la diferenciabilidad
de la función en dicho punto. En consecuencia resulta que df (0, 0)
no existe.
Ejemplo 4.25. Estudiar la continuidad y la diferenciabilidad de la función
f(x, y) =xy 2 en el origen y hallar su diferencial en ese punto.