Salvador Vera

3.1. DERIVADA Y CONTINUIDAD. TANGENTE Y NORMAL 157
Tenemos que:
tan α = f ′
(x0) y − f(x0)
= f
y − f(x0) x − x0
tan α =
x − x0
′ (x0)
de donde resulta la siguiente ecuación:
y − f(x0) =f ′ ✲
(x0)(x − x0)
x
y
✻
y
P
✟
✟
x − x0
f(x0)
x0
✟✟✟✟✟
f(x)
α
✟
✟
✟
x
Figura 3.14: Recta tangente.
Luego, la ecuación de la recta tangente es:
y = f(x0)+f ′ (x0)(x − x0) (3.1)
Ejemplo 3.6. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = √ x
en el punto x =1. Comprobar el resultado gráficamente.
Solución.
✲x y
✻
✟ ✟✟✟
✟
✟
✟
Figura 3.15: y = √ x
Tenemos que: f(x) = √ x ⇒ f(1) = 1, y
f ′ (x) = 1
2 √ x ⇒ f ′ (1) = 1
2
de donde, la ecuación de la recta tangente es
y − 1= 1
x +1
(x − 1) o bien, y =
2 2
Ejemplo 3.7. Demostrar que la recta y = −x es tangente a la curva dada
por la ecuación:
y = x 3 − 6x 2 +8x
Hallar el punto de tangencia.
Solución. La pendiente de la recta tangente ha de ser y ′ = −1. Como
y ′ =3x 2 − 12x + 8, resulta, 3x 2 − 12x +8 = −1, de donde, 3x 2 − 12x +9 = 0,
con lo que, simplificando, resulta:
x 2 − 4x +3=0⇒ x = 4 ± √ 16 − 12
2
= 4 ± 2
2 =
3 ⇒ y = −3 ⇒ P (3, 3)
1 ⇒ y =3⇒ Q(1, 3)
Comprobamos las posibles soluciones:
P (3, 3) ⇒ y +3=−(x − 3) ⇒ y +3=−x +3⇒ y = −x
Q(1, 3) ⇒ y − 3=−(x − 1) ⇒ y − 3=−x +1⇒ y = −x +4No
Las dos soluciones de la ecuación obedecen a que la curva tiene dos rectas
tangentes con la misma pendiente y ′ = −1, una en el punto P (3, 3) y otra
en el punto Q(1, 3).