Salvador Vera

3.1. DERIVADA Y CONTINUIDAD. TANGENTE Y NORMAL 153
Llamando h al incremento, será:
con lo cual resulta:
x − x0 = h → x = x0 + h
f ′ f(x0 + h) − f(x0)
(x0) =lím
h→0 h
y
✻
✲x f(x0 + h) − f(x0)
P
✟
✟
x − x0
f(x0)
✟✟
α
✟
✟
✟
h
←− x = x0 + h
x0
f(x0 + h)
Figura 3.8: Derivada de una función.
Ejemplo 3.1. Calcular, aplicando la definición en las dos formas, la derivada
de la función f(x) =3x 2 , en el punto x =2.
Solución.
f ′ (2) = lím
x→2
f(x) − f(2)
x − 2
3x
=lím
x→2
2 − 12
x − 2 =lím
3(x
x→2
2 − 4)
x − 2 =
=lím
x→2
3(x +2)(x − 2)
x − 2
f ′ f(2 + h) − f(2) 3(2 + h)
(2) = lím
=lím
h→0 h
h→0
2 − 12
=
h
3(4 + 4h + h
=lím
h→0
2 ) − 12 12 + 12h +3h
=lím
h
h→0
2 − 12
h
3.1.6. Derivadas laterales
=
=12
=lím
h→0 (12 + 12h) = 12 + 0 = 12
Si el límite que define la derivada lo tomamos solamente por la derecha o
por la izquierda, obtenemos las derivadas laterales.
Definición 3.3. Se llaman derivada por la derecha y derivada por la izquierda,
respectivamente, a los siguientes límites, si existen y son finitos:
f ′ f(x) − f(x0) f(x0 + h) − f(x0)
(x0+) = lím
= lím
x→x0+ x − x0 h→0+ h