Salvador Vera

250 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Este resultado nos hace tener en consideración el vector cuyas componentes
son las derivadas parciales de una función en un punto. Así, Dada
una función diferenciable de dos variables, se llama vector gradiente de
dicha función en un punto p, al vector cuyas componentes son las derivadas
parciales de la función en dicho punto. Y se denota por cualquiera de los
símbolos gradf(p), ∇f(p) o −→
∇f(p).
gradf(p) =∇f(p) = −→
∇f(p) =
∂f ∂f
(p),
∂x ∂y (p)
(El símbolo ∇ se denomina ✭✭nabla✮✮).
De manera análoga se define el vector gradiente para tres o más variables
gradf(p) =∇f(p) = −→
∂f ∂f ∂f
∇f(p) = (p), (p),
∂x ∂y ∂z (p)
Formalmente la definición es la siguiente:
Definición 4.9. Sea f : D⊆R n → R una función diferenciable definida en
el conjunto abierto D de R n . Se define el (vector) gradiente de la función f
en el punto x0 ∈D,comoelvectordeR n dado por
∂f
gradf(x0) = (x0),
∂x1
∂f
(x0), ··· ,
∂x2
∂f
(x0)
∂xn
Ejemplo 4.31. Hallar el vector gradiente de la función f(x, y) =x 2 y + xy 3
en el punto (−1, 2)
Solución. Hallamos las derivadas parciales y las evaluamos en el punto
(−1, 2)
fx =2xy + y3 fy = x2 +3xy2
fx(−1, 2) = − 4+8=4
fy(−1, 2) = 1 − 12 = −11
de donde,
−→
∇f(−1, 2) = (4, −11)
Ejemplo 4.32. Hallar el vector gradiente de la función f(x, y, z) =
en un punto genérico.
Solución. Hallamos las derivadas parciales
fx = 1
z
fy = 1
z
fz = −
x + y
z 2
−→
∇f =
1
z
, 1
z
−x − y
,
z
x + y
z