Salvador Vera

4.1. DERIVADAS PARCIALES 213
a x en el punto p =(x0,y0) de D como el valor del siguiente límite, si existe
yesfinito.
∂f
∂x (x0,y0)
f(x0 + h, y0) − f(x0,y0)
=lím
h→0
h
Del mismo modo, se define la derivada parcial de f con respecto a y en p,
como el siguiente límite, si existe y es finito.
∂f
∂y (x0,y0)
f(x0,y0 + k) − f(x0,y0)
=lím
k→0
k
Nótese que en cada caso aplicamos la definición de derivada incrementando
solamente una de las variables, mientras que la otra permanece fija.
Más explícitamente podemos escribir:
∂f
∂x (x0,y0)
f(x0 +∆x, y0) − f(x0,y0)
= lím
∆x→0
∆x
∂f
∂y (x0,y0)
f(x0,y0 +∆y) − f(x0,y0)
= lím
∆y→0
∆y
Cálculo de derivadas parciales aplicando la definición.
Ejemplo 4.1. Calcular, aplicando la definición, las dos derivadas parciales
de la función f(x, y) =xy + x − y, en el punto p(0, 0).
Solución.
∂f
(0, 0) = lím
∂x h→0
f(0 + h, 0) − f(0, 0)
h
=lím
h→0
∂f
f(0, 0+k) − f(0, 0)
(0, 0) = lím
∂y k→0 k
=lím
k→0
f(h, 0) − f(0, 0)
=lím
h→0 h
h · 0+h − 0 − 0
h
f(0,k) − f(0, 0)
=lím
k→0 k
0 · k +0− k − 0
k
=lím
k→0
=
h
=lím
h→0 h =lím
h→0 1=1
=
−k
k =lím
k→0 −1=−1
Ejemplo 4.2. Calcular las dos derivadas parciales en el punto p(0, 0) de la
función:
f(x, y) =
xy 2
x 2 + y 2
Solución.
∂f
f(0 + h, 0) − f(0, 0)
(0, 0) = lím
∂x h→0 h
h · 0
=lím
h→0
2
h2 − 0
+02 h
si (x, y) = (0, 0)
0 si (x, y) =(0, 0)
f(h, 0) − f(0, 0)
=lím
=
h→0 h
0
=lím
h→0 h =lím
h→0 0=0