Salvador Vera

242 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Solución. Estudiemos primero la diferenciabilidad en el origen
f(xy) =xy2 fx(x, y) =y2 fy(x, y) =2xy
fx(0, 0) = 0
fy(0, 0) = 0
λ(h, k) =0h +0k =0
∆f(0, 0) = f(0 + h, 0+k) − f(0, 0) = f(h, k) − 0=hk2 luego,
lím
(h,k)→(0,0)
r(h, k)
∆f − λ(h, k)
= lím √ = lím
(h, k) (h,k)→(0,0) h2 + k2 (h,k)→(0,0)
(h,k)→(0,0) k2 √
h2 + k2 = lím
h
hk 2 − 0
√ h 2 + k 2 =
=0· Acot = 0
Luego la función es diferenciable en (0, 0) y en consecuencia es continua en
dicho punto.
Al ser diferenciable resulta, df (0, 0) = λ(h, k) =0h +0k =0
Ejemplo 4.26. Dada la función
f(x, y) =
x 2 + y 2
xy
si x · y = 0
x + y si x · y =0
Calcula sus derivadas parciales en el punto (0, 0). Estudia su continuidad y
diferenciabilidad en dicho punto.
Solución. Entendamos primero el significado de la expresión que define la
función. Para hallar la imagen de un punto (x, y) tenemos que determinar,
primero, si las dos componentes son distintas de cero, o si alguna de las
componentes es cero; y según el caso se le aplica una fórmulaolaotra.Es
decir, para x = 0ey = 0,setiene:
f(x, y) = x2 + y2 , f(x, 0) = x, f(0,y)=y, f(0, 0) = 0.
xy
En consecuencia,
Derivadas parciales en el punto (0, 0). Para calcular las derivadas parciales
de la función en el punto (0, 0) utilizamos la definición de derivada parcial.
f(0 + h, 0) − f(0, 0) f(h, 0) − f(0, 0)
fx(0, 0) = lím
=lím
h→0 h
h→0 h
=lím
h→0
(h +0)− (0 + 0)
h
f(0, 0+k) − f(0, 0) f(0,k) − f(0, 0)
fy(0, 0) = lím
=lím
k→0 k
k→0 k
=lím
k→0
(0 + k) − (0 + 0)
k
=
h
=lím
h→0 h =1
=
k
=lím
k→0 k =1