Salvador Vera

1.5. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 67
3. El límite de la función en el punto existe pero no coincide con el valor de la función
en dicho punto.
Definición 1.27 (Discontinuidad en un punto). Se dice que la función
f es discontinua en un punto x0 si la función está definida en un entorno
de dicho punto (excepto quizás en x0) y no es continua en dicho punto.
Una discontinuidad se dice evitable si la función puede hacerse continua
redefiniendola en dicho punto; y se llama inevitable si esto no es posible.
Nota: Para hablar de discontinuidad se exige que la función esté definida en los alrededores
del punto. No tiene sentido decir que f(x) = √ x es discontinua en x = −3, ya que en los
alrededores de -3 la función no está definida.
Para que la discontinuidad de una función f en un punto x0 sea evitable el límite de
la función en dicho punto tiene que existir, con objeto de hacerla continua redefiniendo
f(x0) con el valor del límite
f(x0) = lím f(x)
x→x0
Es evidente que la nueva función que se obtiene con esta redefinición de f(x0), es continua
en x0
La gráfica de una función de una variable es una curva en el plano. Esta
y
✻
y = f(x)
Figura 1.32: Gráfica de una función de una variable.
curva puede presentar las situaciones de discontinuidad que se muestran en
la figura 1.33.
Definición 1.28 (Continuidad en un intervalo). Una función f se dice
que es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en todos los puntos del
intervalo.
Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en el
intervalo abierto (a, b) y además:
lím f(x) =f(a) y lím f(x) =f(b)
x→a + x→b− Nota: Una función se dice que es continua por la derecha en x0 cuando
lím f(x) =f(x0)
x→x0+
y se dice que es continua por la izquierda cuando
lím f(x) =f(x0)
x→x0−
✲ x