Salvador Vera

4.2. DERIVADAS PARCIALES DE ÓRDENES SUPERIORES 225
Si (x, y) = (0, 0), las derivadas parciales son:
∂f ∂
=
∂x ∂x
∂f
∂y
x3y − xy3 (3x
= 2y − y3 )(x2 + y2 ) − (x3y − xy3 )2x
x 2 + y 2
(x 2 + y 2 ) 2
= 3x4 y +3x 2 y 3 − x 2 y 3 − y 5 − 2x 4 y +2x 2 y 3
(x 2 + y 2 ) 2
= ∂
∂y
=
= x4 y +4x 2 y 3 − y 5
(x 2 + y 2 ) 2
x3y − xy3 (x
= 3 − 3xy2 )(x2 + y2 ) − (x3y − xy3 )2y
x 2 + y 2
(x 2 + y 2 ) 2
= x5 + x 3 y 2 − 3x 3 y 2 − 3xy 4 − 2x 3 y 2 +2xy 4
(x 2 + y 2 ) 2
En el punto (0, 0), las derivadas parciales son:
∂f
f(h, 0) − f(0, 0)
(0, 0) = lím
=lím
∂x h→0 h
h→0
h 3 ·0−h·0 3
h 2 +0 2
=
= x5 − 4x 3 y 2 − xy 4
(x 2 + y 2 ) 2
h
0 3 ·k−0·k 3
0 2 +k 2
− 0
=0
∂f
f(0,k) − f(0, 0)
(0, 0) = lím
=lím
∂y k→0 k
k→0 k
− 0
=0
De donde, aplicando directamente la definición de derivada parcial, resulta:
∂2f ∂
(0, 0) =
∂y∂x ∂y
∂2f ∂
(0, 0) =
∂x∂y ∂x
∂f
(0, 0) = lím
∂x
k→0
∂f
(0, 0) = lím
∂y
h→0
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
(0,k) − (0, 0)
∂x =
k
0
=lím
k→0
4 ·k+4·02k3−k 5
(02 +k2 ) 2 − 0
= −1
k
∂f
(h, 0) − (0, 0)
∂y
=
h
h
=lím
h→0
5−4h3 ·O−h·04 (h2 +02 ) 2 − 0
=+1
h
El teorema 4.2, de igualdad de las derivadas parciales cruzadas, también
se aplica a funciones de tres o más variables siempre y cuando f ytodas
sus derivadas parciales primeras y segundas sean continuas. Por ejemplo,
si f es una función de tres variables, w = f(x, y, z), y f ytodassusderivadas
parciales primeras y segundas son continuas en una región abierta
R, entonces en cada punto de R el orden en la derivación de las derivadas
parciales segundas cruzadas es irrelevante. Esto es,
fxy(x, y, z) =fyx(x, y, z)
fxz(x, y, z) =fzx(x, y, z)
fyz(x, y, z) =fzy(x, y, z)