Salvador Vera

322 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Toda función continua definida en un recinto cerrado y acotado alcanza
un valor máximo y un valor mínimo sobre dicho recinto. Para hallar los
máximos y mínimos absolutos de una función continua en un recinto cerrado
y acotado realizaremos el siguiente proceso:
1. Hallamos los puntos críticos en el interior del recinto. Para ello hallamos
los puntos críticos de la función, ignorando el contorno del recinto,
y una vez hallados los puntos críticos seleccionamos los situados en el
interior del recinto.
2. Hallamos los puntos críticos en el contorno del recinto. Para ello estudiamos
los extremos de la función condicionados por el contorno; bien
aplicando los multiplicadores de Lagrange, o bien por sustitución de
la variable.
3. Comparamos los valores de la función en los puntos críticos hallados.
El mayor corresponde al máximo y el menor al mínimo.
Ejemplo 4.76. Determinar los extremos absolutos de la función f(x, y) =
x 2 + y 2 en el recinto x 2 − 2x + y 2 − 3 ≤ 0.
Solución. Localizamos el recinto expresando la ecuación en forma canónica
(x − 1) 2 + y 2 ≤ 4, luego se trata del círculo C con centro en el punto C(1, 0)
y radio 2.
Se trata de una función continua definida en un recinto cerrado y acotado,
luego alcanzará unmáximo y un mínimo en dicho recinto. Para encontrarlos
seguimos los siguientes pasos:
(a) En primer lugar determinamos los puntos críticos del interior del recinto,
igualando a cero las derivadas parciales.
fx ≡ 2x =0
fy ≡ 2y =0
x =0
y =0
P1(0, 0) ∈C
(b) En segundo lugar determinamos los puntos críticos en la frontera del
recinto, para ello construimos la función lagrangiana:
y buscamos sus puntos críticos:
Lx ≡ 2x +2λx − 2λ =0
Ly ≡ 2y +2λy =0
Lλ ≡ x 2 − 2x + y 2 − 3=0
L(x, y, λ) =x 2 + y 2 + λ(x 2 − 2x + y 2 − 3)
x + λx − λ =0
y + λy =0 →
x 2 − 2x + y 2 − 3=0
λ = −1 → 1=0
x =3
y =0
x = −1
Los puntos críticos del contorno son: P2(3, 0) y P3(−1, 0).
(c) Comparamos los valores de la función en cada uno de los puntos críticos,