Salvador Vera

84 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
Límite de sucesiones considerándolas como funciones
Si unimos los puntos que representan una sucesión obtenemos la gráfica de
una función. Sin embargo, podemos obtener infinitas funciones que contienen
los puntos de una misma sucesión. Lo normal es coger la función que tiene
la misma fórmula que la sucesión, es decir considerar que la variable n es
continua y no discreta.
Si la función que representa a la sucesión tiene límite, ese es el límite de
la sucesión, pero si la función no tiene límite, entonces la sucesión si puede
tenerlo.
Por tanto, se pueden aplicar los infinitésimos y las reglas de L’Hôpital
a las sucesiones, el límite que encontremos será ellímite de la sucesión y
si la sucesión considerada como función no tiene límite entonces habrá que
aplicar otro criterio.
Ejemplo 1.58. Calcular los siguientes límites:
√3 3
1. lím n −
n→∞
√ n − 1 Ö
= lím 3√ 3 n − 1
n 1 − =
n→∞
n
= lím
n→∞ − 3√ Ö
3 −1
n 1+ − 1 = lím
n
2. lím
n→∞ n
3 1 −
1 − a
n
= lím
n→∞ −n−a
a
=
3n 3
3. lím
n→∞ n
√n n−1 a − √
a = lím
n→∞ n n√ a
= lím
n→∞ n n√ 1
a 1 − a n−1
1
4. lím
n→∞
p +2p + ···+ np np+1 = lím
n→∞
1 −
a 1
n−1
a 1
n
1
− n = lím
n→∞ n n√ a
= ä∞ç
= lím
∞ n→∞
=
= lím
n→∞ n n√ a
n→∞ − 3√ n −1
3n =0
n−n+1
1 − a n(n−1) =
(n +1) p
(n +1) p+1 =
− np+1 (n +1)
= lím
n→∞
p
(n +1) p+1
n p+1 =
1 −
n +1
æ
(n +1) 1 −
1
1 − 1
n +1
p+1é = lím
n→∞
ln a
− =0
n(n − 1)
1
p +1
(n +1)
n +1
= 1
p +1