Salvador Vera

2.2. LÍMITE Y CONTINUIDAD 141
es posible despejar una de las incógnitas en función de la otra y obtener una función, o
bien a ecuaciones de curvas conocidas.
Ejemplo 2.39. Demostrar que el siguiente límitenoexiste
lím
(x,y)→(0,0)
x
x 2 + y 2
Solución. Si nos acercamos al origen a través de la familia de curvas definidas
por la ecuación
x 2 + y 2 = λx
resulta
lím
(x,y)→(0,0)
x 2 +y 2 =λx
x→0
x
x2 =lím
+ y2 x→0
x 1
=
λx λ
luego el límite no existe, por depender de λ
Nos queda comprobar que las trayectorias utilizadas son válidas. En
efecto, la ecuación que hemos utilizado en la sustitución se puede expresar
de la siguiente forma,
x 2 − λx + y 2 =0 → (x − λ
2 )2 − λ2
4 + y2 =0 → (x − λ
2 )2 + y 2 = λ2
4
luego se trata de circunferencias con centro en el punto (λ/2, 0) y radio
r = λ/2 que pasan por el origen de coordenadas.
Nota: Hay que hacer notar la importancia de comprobar que la trayectoria utilizada es
una trayectoria idónea. Es decir, una trayectoria que no sólo contenga al punto en cuestión,
sino que lo atraviese. Veamos un ejemplo en el que se obtiene un resultado incorrecto por
seguir una trayectoria no idónea.
Ejemplo 2.40 (Trayectorias no idóneas conducen a resultados incorrectos).
Explicar porqué no es posible utilizar la trayectoria x 2 + y 2 = x 3 para probar
que el siguiente límite no existe
lím
(x,y)→(0,0)
x 3
x 2 + y 2
Solución. Es evidente que el límite dado existe y vale cero. En efecto,
lím
(x,y)→(0,0)
x3 x2 = lím
+ y2 (x,y)→(0,0) x
x2 x2 =0· Acot. = 0
+ y2 Ahora bien, si siguiéramos la trayectoria x 2 + y 2 = x 3 resultaría lo siguiente
lím
(x,y)→(0,0)
x3 x2 =lím
+ y2 x→0
x3 =1
x3