Salvador Vera

5.4. INTEGRACIÓN MEDIANTE CAMBIO DE VARIABLE 355
Ejemplo 5.45. Hallar la integral
x 2 x 3 +1dx
Solución. En este caso podemos elegir entre dos opciones; hacemos el cambio
de variable buscando eliminar la raíz cuadrada, o bien, tenemos encuenta
que lo expresión que hay fuera de la raíz es la derivada del radicando.
En el primer caso,
2
x x3 √
x3 +1=t → x3 +1=t2 +1dx =
= 2
3
2 2 t
t dt =
3
3 2
+ C =
3 9
3x 2 dx =2tdt
3
x3 +1 + C = 2
9 (x3 +1)
= 2
t · tdt=
3
x 3 +1+C
y en el segundo,
2
x x3
x3 +1=t
+1dx =
3x2
=
dx = dt
1 √tdt= 1 1/2
t dt =
3
3
= 1 t
3
3/2 2 3
+ C = x3 +1 + C =
3/2 9
2
9 (x3
+1) x3 +1+C
El cambio de variable en la integral definida
Cuando se hace un cambio de variable en una integral definida hay que
cambiar los límites de integración en función de la nueva variable. Si no
queremos cambiar los límites de integración habrá que deshacer el cambio
antes de la sustitución. En general,
æ é x1
x = g(t) → dx = g ′ t1
(t) dt
f(x) dx =
= f
x0
x0 = g(t0) ; x1 = g(t1) t0
ä g(t) ç g ′ (t) dt
1
Ejemplo 5.46. Hallar 1 − x2 dx
0
Solución. Para resolver esta integral hacemos la sustitución trigonométrica
x =senx, con objeto de eliminar la raíz cuadrada generando un cuadrado
en su interior.
1
0
x =sent→dx =costdt
1 − x2 dx = x =0→ 0=sent→t =0
x =1→ 1=sent→t = π/2
π/2 π/2
= 1 − sen2 t cos tdt= cos 2 tdt=
0
0
=
π/2
=
1+cos2t
dt =
2
å èπ/2
t sen 2t
+ =
2 4
π
4
0
0