Salvador Vera

2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 105
dominio de la segunda g(Dg) ⊆Df , en caso contrario, después de aplicar g
no podríamos aplicar f. Sin embargo, esta restricción no es necesaria para
poder realizar, parcialmente, la composición de las funciones, sólo que, en
este caso, habrá que reducir el dominio de la composición a los puntos del
dominio de la primera que tienen su imagen en el dominio de la segunda.
Desde el punto de vista formal la composición, de funciones reales de una
variable real, puede enunciarse de la siguiente forma: Dadas las funciones
g : I ⊆ R → R, f : J ⊆ R → R (tales que g(I) ⊆ J), se llama composición
de f con g y se denota f ◦ g : I ⊆ R → R, a la función (f ◦ g)(x) =f g(x) .
g : I ⊆ R → R
f : J ⊆ R → R
I g −→ J f −→ R
f ◦ g : I ⊆ R → R (f ◦ g)(x) =fg(x)
En el caso de que no se cumpla la condición g(I) ⊆ J, la composición también
es posible, siempre que g(I) ∩ J = ∅. En tal caso habrá que restringir las
funciones a aquellos puntos en los que la composición sea posible. Es decir,
a los puntos del dominio de la primera que tienen su imagen en el dominio
de la segunda.
Composición de funciones vectoriales. Para funciones de varias variables
la situación es, en principio, algo más complicada. Téngase en cuenta
que dos campos escalares f, g : D ⊆ R n → R no se pueden componer, pues
la operación de composición entre funciones solamente se puede realizar
cuando el rango de una de ellas está contenido (o al menos tiene alguna
conexión) en el dominio de la otra, y los campos escalares tienen rango en
R y dominio en R n . Por lo tanto, los campos escalares solamente se podrán
componer con funciones de una sola variable, por la derecha; o con funciones
vectoriales, por la izquierda. Es decir,
R n f −→ R g −→ R R n f −→ R g −→ R m
R m g −→ R n f −→ R
Pensando en la composición como la sustitución de las variables (se trataría
de la composición por la izquierda), para componer la función z = f(x, y)
tendremos que sustituir las dos variables x e y, respectivamente, por dos
funciones g1 y g2 que las conecten con otras variables, donde g1 y g2 pueden
ser funciones de una o varias variables (ambas de las mismas). Así, si consideramos
las funciones
x = g1(u, v), y = g2(u, v)
podemos sustituir en la función z = f(x, y) y obtener la función compuesta:
z = f g1(u, v),g2(u, v)
que en esquema sería:
z = f(x, y)
x = g1(u, v)
y = g2(u, v)
z = f g1(u, v),g2(u, v)