Salvador Vera

4.7. FUNCIONES VECTORIALES Y MATRIZ JACOBIANA 271
Composición de funciones continuas
Aunque la composición de funciones se tratará más detalladamente en el epígrafe siguiente
dedicado a la Regla de la cadena, la vemos aquí con objeto de demostrar que la composición
de dos funciones continuas es a su vez otra función continua.
Definición 4.16 (Composición de funciones). Dadas la función g : Dg ⊆ R n → R p
definida en el conjunto Dg de R n ylafunción f : Df ⊆ R m → R n definida en el conjunto
Df de R m , cuyo rango está contenido en Dg (es decir, f(Df ) ⊆ Dg), entonces se puede
formar la composición de ambas funciones g ◦ f : Df ⊆ R m → R p , definida como:
Esquemáticamente sería.
f : Df ⊆ R m → R n
g : Dg ⊆ R n → R p
(g ◦ f)(u) =g f(u) ¡ , u ∈ Df
f g
Df −→ Dg −→ R p
g ◦ f : Df ⊆ R m → R p
y mediante diagramas, teniendo en consideración los dominios,
Df
f
❘ ❘
Dg
(g ◦ f)(u) =g f(u) ¡
Rm Rn Rp ✯
g ◦ f
Figura 4.15: Composición de funciones
Igual que en una variable, en general, la composición de funciones no cumple la
propiedad conmutativa, y sí la asociativa.
Teorema 4.8 (Composición de funciones continuas). Dadas la función g : Dg ⊆
R n → R p definida en el conjunto Dg de R n ylafunción f : Df ⊆ R m → R n definida en
el conjunto Df de R m , cuyo rango está contenido en Dg (es decir, f(Df ) ⊆ Dg), Sila
función f es continua en el punto x0 ylafunción g es continua en el punto y0 = f(x0)
entonces la función compuesta g ◦ f también es continua en x0.
Demostración. Sea x0 ∈Df e y0 = f(x0) ∈Dg. Puesto que g es continua en y0, para
toda bola B de centro g(y0) existe una bola B ′ ,decentroy0, tal que g(B ′ ) B.
Puesto que f es continua en x0, para toda bola B ′ de centro f(x0) =y0, existe una bola
B ′′ de centro x0 tal que f(B ′′ ) B ′ .
Aplicando g a los dos miembros de esta relación; se obtiene:
g ◦ f(B ′′ ) g(B ′ ) B
y, por consiguiente, g ◦ f es continua en el punto x0.
4.7.3. Derivadas parciales de funciones vectoriales
Aunque a nivel teórico las derivadas parciales de funciones vectoriales pueden definirse
en términos vectoriales, en la práctica, se establecen en términos de las funciones componentes.
Teniendo en cuenta que una función vectorial f : D⊆R n → R m es un vector
cuyas coordenadas son funciones escalares f =(f1,f2, ··· ,fm). Es decir,
f(x1,x2, ··· ,xn) = f1(x1,x2, ··· ,xn),f2(x1,x2, ··· ,xn), ··· ,fm(x1,x2, ··· ,xn) ¡
g