Salvador Vera

4.6. PLANO TANGENTE 257
constante) la ecuación, podemos considerar la superficie z − f(x, y) = 0
como una “superficie de nivel”de una función de tres variables F (x, y, z) =0
siendo F (x, y, z) =y −f(x, y), con lo cual el vector gradiente de esta función
será un vector normal a la superficie dada.
vp = ∇F
Es evidente que si la función viene definida de manera explícita z = f(x, y),
entonces ambos procedimientos coinciden. En efecto, haciendo F (x, y, z) =
z − f(x, y), resulta
vp = ∇F =(Fx,Fy,Fz) =(−fx, −fy, 1)
Ejemplo 4.35. Hallar un vector perpendicular al plano 3x − y +2z =3
Solución. Consideramos la función: F (x, y, z) =3x − y +2z, de donde
luego,
Fx =3, Fy = −1 Fz =2
vp = ∇F =(3, −1, 2)
Ejemplo 4.36. Hallar un vector perpendicular a la superficie x 2 + yz =5
en el punto (1, 2, 2)
Solución. Consideramos la función: F (x, y, z) =x 2 + yz, de donde
luego,
Fx =2x, Fy = z Fz = y → ∇f =(2x, z, y)
4.6.2. Plano tangente
vp = ∇F (1, 2, 2) = (2, 2, 2)
Consideraciones geométricas
Ecuación de un plano
Para hallar la ecuación de una recta, de una curva, de un plano, o de cualquier lugar
geométrico, el procedimiento habitual es el denominado del “punto genérico”, que consiste
en suponer un punto genérico X de la figura geométrica correspondiente y relacionarlo con
los datos que disponemos. Buscaremos una relación que vincule al punto X con los datos
del problema y que cumplan los puntos de la figura geométrica y sólo ellos. La relación
puede ser vectorial, trigonométrica o de cualquier tipo.
(a) Ecuación de un plano conocido un punto del mismo y dos vectores paralelos al plano,
pero no paralelos entre sí. Si unimos el punto P con el punto X mediante
el vector −−→
PX,resultaráque los tres vectores u, v
y −−→
PX son coplanarios y por lo tanto serán linealmente
dependientes y, en consecuencia, el determinantedelamatrizdesuscomponentesserácero.
−−→
−−→
PX
PX
u Linealmente dependientes ⇐⇒ u
v
¬ v ¬ =0
P •✑
✲
u
✑✑✸ v ✿•
X