Salvador Vera

290 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
de donde,
∂z
∂s =2(3s2
t + t) =6s2 +2t2 t
∂z
∂t =2(−s3
t2 + s) =−2s3 +2st2 t2 (b) Aplicando la Regla de la Cadena, resulta
∂z ∂f ∂x ∂f ∂y
= +
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s =(2y)(2s)+(2x)(1
2x
)=4sy +
t t =
=4s s 2
+
t t (s2 + t 2 )= 4s2
t + 2s2 +2t2 =
t
6s2 +2t2 t
∂z ∂f ∂x ∂f ∂y
= +
∂t ∂x ∂t ∂y ∂t =(2y)(2t)+(2x)(−s
2s
)=4ty − x =
t2 t2 =4t s 2s
−
t t2 (s2 + t 2 )= 4t2s − 2s3 − 2st2 t2 = 2st2 − 2s 3
t 2
4.8.5. Regla de la cadena. Perspectiva general: Matriz jacobiana
La introducción del Jacobiano nos va a permitir utilizar el lenguaje algebraico de las
matrices y las transformaciones lineales y nos va a permitir ver la regla de la cadena como
un resultado de asombrosa sencillez y elegancia, como lo es en el caso de funciones de una
variable.
Recordemos, primeramente, lo que establece la regla de la cadena para funciones
de una sola variable: la composición de dos funciones diferenciable es diferenciable y su
derivada es el producto de las derivadas de cada una de las funciones que se están componiendo.
Queremos establecer un resultado similar para funciones vectoriales de cualquier
número de variables.
Hasta ahora hemos definido los conceptos de “derivadas parciales”, “derivadas direccionales”,
“gradiente” y “diferencial”, para funciones de varias variables, pero no hemos
definido lo que se entiende por “derivada”de este tipo de funciones.
Definición 4.20 (Derivada). Sealafunción f : D R n → R m definida en el conjunto
abierto D de R n yseax0∈D. Se dice que esta función es diferenciable en x0 si existe
una transformación lineal f ′ (x0) :R n → R m , llamada derivada de f en x0, talque
f(x0 + h) =f(x0)+f ′ (x0)h + r(h) donde
r(h)
lím
h→0 h =0,
(para h tal que x0 + h ∈D)
NOTA: Siendo r una función que toma valores en R m , la interpretación del límite anterior
sería de que todas las funciones componentes tenderán a cero cuando, al dividirlas por
h, h tiende a cero.
Hemos definido la derivada de una función vectorial como una transformación lineal
T : R n → R m . Toda transformación lineal tiene asociada una matriz de orden m × n que
la representa.
Matriz de una transformación lineal. La matriz asociada a la transformación lineal
T : R n → R m se construye de la siguiente forma: Sean β1 = {e1, e2, ··· , en} y β2 =
{ē1, ē2, ··· , ēn} las bases canónicas de R n y R m respectivamente. Entonces el vector T (ej)
se puede escribir como combinación lineal de los vectores de β2, esdecir,
T (ej) =a1jē1 + a2jē2 + ···+ amjēm