Salvador Vera

4.10. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 315
|Hf( −1
2
1
, )| =
3
3 3 −1
¬ 3 e−1/27 2
3 e−1/27
0 y fxx > 0 → es un mínimo.
Que son los mismos resultados anteriores.
−1
e−1/27
3 e−1/27
¬ =(4
1
−
9 9 )e−1/27 = 3
9 e−1/27 >
4.10.4. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange
Planteamiento del problema. En los problemas clásicos de máximos y
mínimos se trata de hacer máxima o mínima una función f(x, y) sujeta a
una restricción g(x, y) =0.
Gráficamente el problema consiste en determinar el punto más bajo (o
más alto) de la superficie de ecuación z = f(x, y) que está situado sobre la
curva de ecuación g(x, y) = 0, y se puede resolver de dos maneras diferentes:
a) Mediante un corte vertical de la superficie.
b) Mediante cortes horizontales (curvas de nivel).
Desde el punto de vista analítico, el primer caso corresponde a reducir
el problema a una variable, y el segundo al método de los multiplicadores
de Lagrange.
a) Mediante un corte vertical. Gráficamente consiste en cortar la superficie
f(x, y) mediante el plano (o cilindro) vertical de base la curva plana
g(x, y) = 0 y hallar los extremos de la curva espacial resultante.
Analíticamente esto se consigue despejando la variable y en la ecuación
g(x, y) = 0, y sustituyendo el valor obtenido, y = φ(x), en la en la función
f, con lo cual el problema se reduce al cálculo de máximos y mínimos de
una función de una sola variable.
f(x, y) =f x, φ(x) = h(x)
El problema se presenta cuando no es posible o no es práctico despejar la
variable y en la ecuación g(x, y) =0.
Observación. El extremo de la función f(x, y) condicionado por la ecuación
g(x, y) = 0, no es extremo de la función f(x, y), considerada aisladamente,
sino de la intersección de la función con el plano vertical.
Ejemplo 4.72. Hallar el mínimodelafunción f(x, y) =x 2 + y 2 condicionado
por la restricción x + y − 1=0, reduciéndolo a una variable.
Solución. Gráficamente se trata de encontrar el punto más bajo de la superficie
de ecuación f(x, y) =x 2 + y 2 que se encuentra sobre la recta de
ecuación x + y − 1 = 0. Analíticamente, el problema puede reducirse a una
sola variable. En efecto, despejando y en la restricción resulta: y = −x +1