Salvador Vera

42 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
1. Mediante el procedimiento de deshacer operaciones solamente es posible hallar la
ecuación de la recíproca de funciones sencillas, tales que en su fórmula sólo aparezca
una vez la variable x. De manera que sea posible establecer una cadena lineal que
vaya desde x hasta y. Con objeto de poder invertir el proceso.
2. Mediante el despeje de la variable independiente es posible hallar la ecuación correspondiente
a la función inversa de función con ecuaciones algo más complejas que el
caso anterior. Sin embargo, no siempre es posible despejar la variable independiente
en una ecuación.
3. Existen muchas ecuaciones para las que no es posible encontrar la ecuación que
corresponde a la función inversa, a pesar de que dicha función existe. Por ejemplo,
la función f(x) =e x + x es inyectiva y, en consecuencia, tiene función inversa, sin
embargo, no sabemos encontrar su ecuación.
Proposición 1.9 (Simetría de las correspondencias inversas). La
gráfica de una correspondencia f yladesurecíproca f −1 son simétricas
respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante, y = x
Demostración. En efecto, por definición de la inversa, se tiene
(a, b) ∈ f ⇔ (b, a) ∈ f −1
y
(b, a)
f
(a, b)
y = x
f −1
Figura 1.19: Simetría de las correspondencias inversas
Para que la correspondencia recíproca f −1 de una función f sea otra
función, la función f ha de ser inyectiva. Gráficamente puede determinarse
si una función es inyectiva o no mediante el criterio de la recta horizontal.
Una función es inyectiva si y sólo si su gráfica no tiene nunca dos puntos
en la misma horizontal. Por tanto, una función f tiene función inversa si y
sólo si cada recta horizontal corta a la gráfica de f a lo sumo una vez.
Nota: En consecuencia se tienen los dos criterios:
a) Criterio de la recta vertical. Para que una curva represente una función, no puede
tener dos puntos en la misma vertical.
b) Criterio de la recta horizontal. Para que una función sea inyectiva y, en consecuencia,
tenga función inversa, su gráfica no puede tener dos puntos en la misma horizontal.
Proposición 1.10 (Las funciones estrictamente monótonas son inyectivas).
Si una función f es estrictamente monótona en un intervalo,
entonces es inyectiva en ese intervalo.
x