Salvador Vera

3.2. FUNCIÓN DERIVADA. REGLAS DE DERIVACIÓN. 159
Ejemplo 3.9. Hallar las rectas tangente y normal a la curva y = 3√ x en el
origen de coordenadas
Solución. Tenemos y = x 1/3 , y su derivada y ′ = 1
y
✻
✲ x
Figura 3.18: f(x) = 3√ x.
3 x−2/3 = 1
3 3√ , de donde,
x2 f ′ (0) = +∞, con lo cual:
Ecuación de la recta tangente: x =0
Ecuación de la recta normal: y =0
3.2. Función derivada. reglas de derivación.
3.2.1. Función derivada
Dada una función y = f(x), si hallamos su derivada en cada uno de los
puntos en los que sea derivable se obtiene una nueva función llamada función
derivada de la anterior.
x f(x)
x0 f(x0)
x1 f(x1)
x f ′ (x)
x0 f ′ (x0)
x1 f ′ (x1)
. . . .
y = f(x) y = f ′ (x)
Para hallar la fórmula de la función derivada basta con aplicar la definición
de derivada en un punto genérico:
f ′ f(x + h) − f(x)
(x) =lím
h→0 h
f ′ △f
(x) = lím
△x→0 △x y′ △f dy
= lím =
△x→0 △x dx
Ejemplo 3.10. Hallar, aplicando la definición, la derivada de la función:
f(x) =x 2
Solución. Podemos aplicar la definición de derivada en cualquiera de sus dos
formas:
f ′ f(x) − f(c) x
(c) =lím
=lím
x→c x − c x→c
2 − c2 x − c =lím
(x + c)(x − c)
=2c⇒ x→c x − c
⇒ f ′ (c) =2c⇒ f ′ (x) =2x
f ′ f(x + h) − f(x) (x + h)
(x) =lím
=lím
h→0 h
h→0
2 − x2 =
h
x
=lím
h→0
2 +2hx + h2 − x2 h
=lím
h→0 (2x + h) =2x