Salvador Vera

344CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS
Demostración. Aplicando la definición de derivada a la función F , resulta,
F ′ F (x + h) − F (x)
(x) =lím
h→0
=lím
h
h→0
Ê xa
f(t) dt +
=lím
h→0
Ê x+h
x
h
=lím
h→0
Ê x+h
a f(t) dt − Ê x
a f(t) dt
h
f(t) dt − Ê x a f(t) dt
Ê x+h
x
f(t) dt
h
=
=
f(x) · h
=lím = f(x)
h→0 h
En la demostración se ha tenido en cuenta que, para h pequeño,
En efecto,
y
✻
y = f(x)
F (x)
a t x
x
✻ b
+ h
Figura 5.12:
x+h
x
✲ x
f(t) dt ≈ f(x) · h
h
f(x)
La integral
x+h
x
f(t) dt
representa el área del rectángulo
infinitesimal de base h y
altura f(x).
De una manera más formal, teniendo en cuenta la desigualdad (5.1), se
puede establecer de la siguiente forma:
mxh ≤
x+h
de donde, tomando límite,
de donde,
x
f(x) ≤ lím
h→0
f(t) dt ≤ Mxh → mx ≤
lím
h→0 mx ≤ lím
h→0
Ê x+h
x f(t) dt
≤ lím Mx
h
h→0
Ê x+h
x f(t) dt
≤ f(x) ⇒ lím
h
h→0
Lecturas del teorema fundamental del Cálculo
Ê x+h
x f(t) dt
≤ Mx
h
Ê x+h
x f(t) dt
= f(x)
h
Del Teorema fundamental del Cálculo se pueden desprender las siguientes
interpretaciones:
1. Si la función f es continua sobre el intervalo cerrado [a, b], entonces su
función integral F (x) = Ê x a f(t) dt , es una primitiva de f(x).