Salvador Vera

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194 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Teniendo en cuenta que c está situado entre x0 y x1, resulta, Luego, tendrá que ser: ¬ Rn( 1 3 ) ¬ = 0
3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR195 3.5.7. Aplicaciones de la Fórmula de Taylor al cálculo de límites Consiste en sustituir las funciones que intervienen en el límite por sus desarrollos de Taylor. En la práctica, para simplificar los cálculos, solamente se sustituyen por la parte del desarrollo de Taylor que realmente influye en el límite. El problema será determinar cuántos términos del desarrollo se deben utilizar. sen x − x Ejemplo 3.53. Calcular lím x→0 x3 Solución. sen x − x lím x→0 x3 = ä0ç (x − =lím 0 x→0 x3 + ···) − x 6 x3 =lím x→0 e Ejemplo 3.54. Calcular lím x→0 x − e−x − 2x x − sen x −x3 −1 = 6x3 6 Solución. Teniendo en cuenta los desarrollos de las funciones que intervienen: e x =1+x+ x2 2 resulta, lím x→0 e x − e −x − 2x x − sen x =lím x→0 x3 + 6 +··· e−x =1−x+ x2 x3 x3 − +··· sen x = x− 2 6 6 +··· 1+x + x 2 ä0ç = = 0 2 x3 + 6 + ··· − 1 − x + x2 x3 − 2 6 + ··· − 2x x − x − x3 = + ··· 6 Ejemplo 3.55. Calcular, si existe, el valor de lím utilizando polinomios de Taylor. x→0 =lím x→0 2 x3 6 x 3 6 =2 1 − cos(x 2 ) x · sen x +2· cos x − 2 Solución. Teniendo en cuenta el desarrollo en series de potencias de las funciones sen x ycosx, sen x = x − x3 6 tenemos. x5 x2 x4 + −··· cos x =1− + 120 2 24 −··· cos x 2 =1− x4 2 + x8 24 −···
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Índice alfabético Binomio de Newt
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