Salvador Vera

70 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
Ejemplo 1.50 (Comportamiento no acotado). Discutir la existencia del siguiente
límite
1
lím
x→0 x2 Solución. Consideremos la función
f(x) = 1
x 2
Demos valores a x cada vez más cercanos al origen
x seacercaa0porlaizquierda x se acerca a 0 por la derecha
x -0.25 -0.1 -0.01 -0.001 0 0.001 0.01 0.1 0.25
f(x) 16 100 10000 1000000 ? 1000000 10000 100 16
f(x) crece sin tope f(x) crece sin tope
De la tabla se desprende que cuando x se acerca a 0, tanto por la derecha
como por la izquierda, f(x) crece sin límite. Es más, podemos hacer que
f(x) crezca cuanto queramos sin más que acercarnos suficientemente al origen.
Así, por ejemplo, si queremos que f(x) sea mayor que 100 000 000,
bastará tomar un valor de x menor que 1/10 000. En efecto,
0 < |x| < 1
10 000
1
⇒ f(x) = > 100 000 000
x2 Como f(x) no se aproxima a ningún número real cuando x se acerca a
0, decimos que el límite no existe. Ahora bien, aunque el límite no existe,
como número real, la situación reflejada en este ejemplo es lo suficientemente
importante y lo suficientemente frecuente en Cálculo, como para tenerla en
especial consideración. Así, en estas situaciones, se dice que el límite de la
función cuando x tiende a cero, es infinito, y se expresa
1
lím =+∞
x→0 x2 No obstante hay que decir que +∞ no es ningún número real, sino el reflejo
de una situación concreta.
Ahora bien, para que quede probado que el límite es infinito, no basta con
probar que la función toma valores superiores a 100 000 000 en los alrededores
del origen, sino que hemos de probar que la función, en los alrededores del
origen, toma valores superiores a cualquier número real M, por muy grande
que sea. En efecto. Sea M>0unnúmero positivo cualquiera, será
0 < |x| < 1
√ ⇒ f(x) =
M 1
>M
x2