Salvador Vera

4.4. DIFERENCIABILIDAD 237
4.4.2. Diferenciabilidad y derivadas parciales
Proposición 4.1 (Diferenciabilidad implica existencia de las derivadas
parciales). Si una función f : D⊆R 2 → R es diferenciable en el
punto p ∈D, entonces existen sus derivadas parciales en dicho punto.
Demostración. Supongamos que la función f : D⊆R 2 → R es diferenciable
en el punto p(x0,y0) ∈D, entonces existen las constantes A y B tales que:
f (x0,y0)+(h, k) r(h, k)
= f(x0,y0)+Ah+Bk+r(h, k) con lím
(h,k)→(0,0) (h, k) =0
Ahora bien, poniendo h =(h, 0) en la expresión anterior resulta:
r(h, 0)
h
r(h)
=
h = f(x0 + h, y0) − f(x0,y0)
− A
h
de donde, al tomar límite cuando h → 0 resulta
f(x0 + h, y0) − f(x0,y0)
de donde obtenemos
r(h)
lím
h→0 h =lím
h→0
h
− A
f(x0 + h, y0) − f(x0,y0)
A =lím
=
h→0
h
∂f
∂x (x0,y0)
De manera análoga, poniendo h =(0,k) obtenemos:
f(x0,y0 + k) − f(x0,y0)
B =lím
=
k→0
k
∂f
∂y (x0,y0)
Se tiene, entonces, que una condición necesaria para que una función
f(x, y) sea diferenciable en un punto p =(x0,y0) es que existan sus derivadas
parciales en ese punto. Sin embargo, esta condición no es suficiente, ya
que la existencia de todas las derivadas parciales no garantiza la diferenciabilidad.
No obstante, lo interesante de esta propiedad es su negación lógica,
osea:Si una función no tiene todas sus derivadas parciales, entonces no es
diferenciable.
Como consecuencia de este resultado, podemos establecer la siguiente
Proposición 4.2. La función f : D⊆R 2 → R definida en un conjunto
abierto D de R 2 , es diferenciable en el punto p =(x0,y0) ∈D,si:
1. Existen las derivadas parciales de f en p
A = ∂f
∂x (x0,y0), B = ∂f
∂y (x0,y0)