Salvador Vera

1.1. LA RECTA REAL 13
Nota: Para hallar el punto medio de un intervalo basta con hallar la media aritmética de
sus extremos. Es decir, el punto medio del intervalo (a, b) es
m =
a + b
2
Ejemplo1.14(Expresión de intervalos mediante valor absoluto). Expresar
mediante valor absoluto los siguientes intervalos:
1. ä −2, 2 ç , 2. ä −1, 3 ç , 3. −∞, −2 ç ∪ ä 2, +∞ , 4. −∞, 1 ç ∪ ä 5, +∞ .
Solución.
ä ç
1. − 2, 2 = {x ∈ R/ |x| ≤2}
ä ç
2. − 1, 3 = {x ∈ R/ |x − 1| ≤2}
ç ä
3. −∞, −2 ∪ 2, +∞) ={x ∈ R/ |x| ≥2}
ç ä
4. −∞, 1 ∪ 5, +∞) ={x ∈ R/ |x − 3| ≥2}
Definición 1.7 (Intervalo reducido de un punto). Se llama entorno
reducido de un punto a un entorno en el que se ha suprimido el punto.
Ejemplo 1.15 (Expresión mediante valor absoluto de un entorno reducido).
Expresar mediante valor absoluto un entorno reducido de 4 de radio 2.
Solución.
(2, 4) ∪ (4, 6) = {x ∈ R/ 0 < |x − 4| < 2}
La manera de expresar que x = 4 es mediante la desigualdad 0 < |x − 4|
Distancia entre dos puntos de la recta real
Definición 1.8 (Distancia entre dos puntos de la recta real). La
distancia entre dos puntos x1 y x2 de la recta real, viene definida por el
valor absoluto de su diferencia
d = |x2 − x1| = (x2 − x1) 2
Nota: El orden en que se restan los puntos x1 y x2 no importa, ya que |x2 −x1| = |x1 −x2|
A la diferencia de los números (sin el valor absoluto) se le llama distancia dirigida.
Así,
a) la distancia dirigida de x1 a x2 es x2 − x1; y,
b) la distancia dirigida de x2 a x1 es x1 − x2.
En consecuencia, la distancia dirigida es positiva cuando se mide hacia la derecha
(orden creciente de los números) y negativa cuando se mide hacia la izquierda (orden
decreciente de los números).
Ejemplo1.16(Distancia en la recta). Hallar la distancia entre -2 y 5