Salvador Vera

6.2. CÁLCULO DEL VOLUMEN DE UN CUERPO 385
Ambas integrales se resuelven por cambio de variable,
2
I1 = x
1
√
x − 1=t2 x − 1 dx =
x = t2
=
+1→ dx =2tdt
1
= (2t 4 +2t 2 æ
2t5 2t3
)dt = +
5 3
I2 =
3
2
=
x √ 3 − xdx=
0
1
0
(−6t 2 +2t 4 )dt =
Con lo cual, el volumen es,
æ 3 − x = t 2 → x =3− t 2
dx = −2tdt
æ
−6t3 2t5
+
3 5
V =4π(I1 + I2) =4π 16
15
é 0
1
é =
= − −6
3
0
1
1
é 1
8
40 160π
+ =4π =
5 15 15
0
0
(t 2 +1)t2tdt=
= 2 2 16
+ =
5 3 15
(3 − t 2 )t(−2t) dt =
2
2 8
+ =2− =
5 5 5
= 32π
3
Ejemplo 6.6. Dada la región limitada por las gráficas de y = √ x, y =0y
x =4, obtener, aplicando el método de discos y el de capas, el volumen del
sólido formado haciendo girar dicha región en torno al eje OX yalejeOY .
Solución. 1. Giro en torno al eje OX
(a) Método de los discos:
2
1
−1
−2
y
(x, y)
1 2 3 4
x
⇒
2
1
−1
−2
Figura 6.5: Método de discos y cilindros
Por el método de discos, el diferencial de volumen es:
de donde, el volumen total será:
V =
dV = πr 2 dx = πy 2 dx = πx dx
4
0
dV =
4
0
y
æ
x2 πx dx = π
2
(b) Método de cilindros. El diferencial de volumen es,
é 4
0
=8π
dV =2πrh dy =2πy(4 − x) dy =2πy(4 − y 2 ) dy =2π(4y − y 3 ) dy
x