Salvador Vera

5.6. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES 363
Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales, la primera es inmediata,
por ser polinómica, pero la segunda no.
x2 +3x− 4
x2 dx =
− 2x − 8
1 dx +
5x +4
x2 dx = x + I1
− 2x − 8
Para calcular la segunda integral factorizamos el denominador y descomponemos
la fracción en fracciones simples.
x 2 − 2x − 8=0→ x = 2 ± √ 4+32
=
2
2 ± 6
2 =
4
−2
de donde resulta,
5x +4
x 2 − 2x − 8 =
5x +4 A B A(x +2)+B(x − 4)
= + =
(x − 4)(x +2) x − 4 x +2 (x − 4)(x +2)
Los coeficientes los calculamos dando valores a x,
Con lo cual resulta,
I1 =
de donde,
5x +4
x2 dx =
− 2x − 8
x =4 → 24 = 6A → A =4
x = −2 →−6=−6B → B =1
4
1
dx + dx =4ln|x − 4| +ln|x +2|
x − 4 x +2
x2 +3x− 4
x2 dx = x +4ln|x − 4| +ln|x +2| + C
− 2x − 8
(b) El denominador tiene sólo raíces reales, aunque alguna de ellas
es múltiple.
p(x)
q(x) =
p(x)
A
= +
(x − x1)(x − x2) 3 x − x1
B
+
x − x2
Ejemplo 5.60. Hallar la integral
x 4 − x 3 − x − 1
x 3 − x 2
Solución. Efectuamos la división de los polinomios,
x 4 − x 3 − x − 1 x 3 − x 2
−x 4 + x 3 x
−x − 1
C
+
(x − x2) 2
dx
→ x4 − x 3 − x − 1
x 3 − x 2
= x +
D
(x − x2) 3
−x − 1
x 3 − x 2
Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales, la primera inmediata,
por ser polinómica, y la segunda no.
x 4 − x 3 − x − 1
x 3 − x 2
dx = xdx+
−x − 1
x3 x2
dx = + I1
− x2 2