Salvador Vera

126 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: LÍMITES
Ejemplo 2.23 (Límite infinito). Calcula los siguientes límites:
1. lím
(x,y)→(0,0)
ä 1 − cos(x 2 + y 2 )
x 2 + y 2
2. lím
(x,y)→(0,0) ln(x2 + y 2 )=ln0 + = −∞
ç 1
=1− =1−∞= −∞
0 +
2.2.5. Comprobando límites aplicando la definición
Mediante la definición de límite se puede comprobar si un límite dado
es correcto o no, pero no se pueden calcular límites. La comprobación suele
ser complicada y artificial. (Tenemos que imaginar que alguien nosvaadar
el valor de ε y nosotros tenemos que encontrar el correspondiente valor de δ
que hace que sea cierta la implicación. En general, nuestro δ dependerá del
ε que nos den: δ = δ(ε)).
En cada caso necesitaremos probar que, para cada ε>0, existe un δentorno
alrededor de (x0,y0) tal que
|f(x, y) − ℓ| 0, existe, para ese ε, unδ>0 que hace cierta la
implicación:
0 < (x − x0) 2 +(y − y0) 2