Salvador Vera

136 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: LÍMITES
Solución. Aplicando infinitésimos en el numerador,
ln x = ln(1 + x − 1) ∼ x − 1 , tg(y − 1) ∼ y − 1
y agrupando términos en el denominador, resulta:
lím
(x,y)→(1,1)
ln x tg(y − 1)
= lím
xy − x − y +1 (x,y)→(1,1)
2.2.9. Inexistencia de límites
(x − 1)(y − 1)
x(y − 1) − (y − 1) =
(x − 1)(y − 1)
= lím
(x,y)→(1,1) (x − 1)(y − 1) =1
Cuando no sepamos calcular un límite, intentaremos demostrar que dicho
límite no existe. Esto lo podemos hacer por dos métodos:
-Mediante los límites direccionales.
-Mediante los límites reiterados.
Límites direccionales
Aunque la definición de límite de funciones de dos variables va en total
paralelismo con la definición de límite de funciones de una sola variable,
existe una diferencia fundamental a la hora de determinar la existencia de
un límite. En una variable, la existencia del límite, es equivalente a la coincidencia
de los límites laterales. Es decir, para determinar si una función de
una variable tiene límite en un punto determinado, solamente necesitamos
comprobar qué ocurre al aproximarnos por dos direcciones –por la izquierda
y por la derecha–. Si la función tiene el mismo límite por la izquierda y por la
derecha podemos concluir que el límite existe. Si embargo, en dos variables
esto no es así.
−→←−
✤✜ ✤✜ ✤✜
✠ ❅❘
✶✐ •
✒ ❅■
✣✢ ✣✢ ✣✢
En dos variables, en principio, no tiene sentido hablar de límites laterales
¿qué significan derecha e izquierda en el plano?, por eso hablamos de límites
direccionales, ya que, en dos variables existen infinitos caminos para acercarnos
al punto, es más, podemos acercarnos siguiendo un camino recto o
un camino curvo. Es decir, al escribir
(x, y) → (x0,y0)
entendemos que el punto (x, y) se aproxima al punto (x0,y0) en cualquier
dirección. Y, para que exista el límite, los límites siguiendo todas las direcciones
o trayectorias tienen que coincidir. La exigencia de la definición a