Salvador Vera

282 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
donde
ɛ(h) =
df ɛ1(h) ¡ + k
ɛ2(k)
h
si h = 0
0 si h = 0
(el valor ɛ(0) =0, se deduce al sustituir h por 0 en (4.13)).
Nos queda por demostrar que ɛ(h) tiende hacia 0 cuando h tiende hacia 0. Esdecir,
tenemos que demostrar que el siguiente límite es nulo:
¡ k
lím ɛ(h) = lím df ɛ1(h) +
h→0 h→0
h ɛ2(k)
=lím df ɛ1(h)
h→0 ¡ k
+lím
h→0 h ɛ2(k)
Primer sumando; puesto que df es lineal, es continua, y se puede decir que:
lím ɛ1(h) =0 =⇒ lím df ɛ1(h)
h→0
h→0
¡ = 0
Segundo sumando; puesto que dg es continua, existe una constante a>0talque,para
todo h ∈ R m , se verifica que dg(h) ≤ah. Por consiguiente, según (4.12) y(4.10), se
tiene:
k = g(x0 + h) − g(x0) = dg(h)+hɛ1(h) ≤dg(h) + hɛ1(h)
con lo cual,
y, por tanto:
k ≤ah + hɛ1(h) = a + ɛ1(h) ¡ h
lím ɛ2(k) =0 =⇒ lím
k→0 h→0
k
ɛ2(k) =0
h
Y, en consecuencia, se concluye que lím
h→0 ɛ(h) =0.
La relación (4.14) prueba, entonces que f ◦ g es diferenciable en x0, ytambién que su
diferencial en ese punto es la compuesta dg ◦ df de las diferenciales de g y f.Con lo cual
el teorema 4.9 queda demostrado.
4.8.4. Regla de la cadena. Perspectiva práctica: Parciales
En la Regla de la Cadena hay que diferenciar el aspecto teórico del aspecto
práctico. El aspecto teórico presenta una gran elegancia y simplicidad, sin
embargo no nos deja ver la riqueza de sus múltiples aplicaciones prácticas.
Así, el teorema 4.9 puede enunciarse en términos de derivadas parciales de
la siguiente forma:
Teorema 4.10 (Regla de la cadena). Sea g : Dg ⊆ R m → R n una
función definida en el conjunto abierto Dg de R m , diferenciable en x0 ∈ Dg.
Sea f : Df ⊆ R n → R una función definida en el conjunto abierto Df de
R n , tal que g(Dg) ⊆ Df , diferenciable en y0 = g(x0) ∈ Df .Entoncesla
composición f ◦g : Dg ⊆ R m → R es diferenciable en x0 y además, en dicho
punto, sus derivadas parciales son:
∂
(f ◦ g)(x0) =
∂xj
n
i=1
∂f
∂yi
g(x0) ∂gi
(x0). j =1, 2,...,m (4.15)
∂xj