Salvador Vera

3.2. FUNCIÓN DERIVADA. REGLAS DE DERIVACIÓN. 163
Si la función tiene, en la fórmula, un punto aparte, la derivada en ese punto
no tiene porqué ser cero, ya que la derivada depende de los valores que
tome la función en los alrededores del punto. Además, a cualquier función
le podemos separar un punto de su fórmula, sin que por ello se haga su
derivada cero en dicho punto. Por ejemplo,
obien,
f(x) =x 2 =
f(x) =x =
x 2 si x = 3
9 si x =3 ⇒ f ′ (x) =2x =
2x si x = 3
6 si x =3
x si x = 2
2 si x =2 ⇒ f ′
1 si x = 2
(x) =1=
1 si x =2
Si la función tiene un punto aparte, para derivarla, podemos seguir dos
caminos:
1. Aplicar la definición de derivada.
2. Comprobar si es continua, si no es continua no es derivable, y si es
continua podemos calcular la derivada en ese punto mediante el límite,
en ese punto, de la derivada en los demás,enelcadodequeexista.Si
el límite no existe habrá que aplicar la definición.
Es decir,
g(x) si x = a
f(x) =
f ′ (x) =lím
x→a g ′ (x)
k si x = a ⇒ f ′ (x) = g′ (x) si x = a
lím
x→a g′ (x) si x = a
Bien entendido que si dicho límite no existe entonces hay que aplicar la
definición.
Ejemplo 3.15. Hallar la derivada de la función:
f(x) =
sen x
x
si x = 0
1 si x =0
Solución. La derivada para x = 0 no tiene ningún problema,
g(x) =
sen x
x ⇒ g′ x cos x − sen x
(x) =
x2 Para hallar la derivada en el origen procedemos de la siguiente forma:
(a) Estudiamos la continuidad en el origen:
sen x
lím f(x) =lím =1=f(0) ⇒ f es continua en x=0
x→0 x→0 x