Salvador Vera

352CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS
Ejemplo 5.33. Hallar la integral
(x +1) 2
x 3 + x dx
Solución. Operando tenemos:
(x +1) 2
x3 x2 +2x +1
dx =
+ x x(x2 (x2 +1)+2x
dx =
+1) x(x2 dx =
+1)
1 2
= +
x 1+x2
dx =ln|x| + 2 arc tg x + C
2dx Ejemplo 5.34. Hallar la integral tg x +cotx
Solución. Operando tenemos:
2dx 2 2
tg x +cotx = tg x +2tgx · cot x +cotx dx =
2 2 2 2
tg x +2+cotx dx = tg x +1+1+cotx dx =
2 2
sec xdx + csc xdx =
=
2 2
= tg x +1 dx + 1+cotx dx =
Ejemplo 5.35. hallar
2x x2 +1dx
=tgx − cot x + C
Solución. En este caso tenemos que tener en cuenta la derivada de una
función compuesta.
2x x2 2 1/2
+1dx = x +1 2xdx=
x 2 +1 3/2
3/2
= 2
3
+ C =
x 2 +1 x 2 +1+C
5.4. Integración mediante cambio de variable
El cambio de variable en una integral indefinida se puede efectuar de dos
formas:
1. Cambiando la variable x por una función x = g(t), donde g(t) es una
función monótona continuamente derivable de una nueva variable t.
f(x) dx =
æ
x = g(t)
dx = g ′ (t)dt
é ä ç ′
= f g(t) g (t) dt
2. Cambiando parte del integrando por una nueva variable g(x) =t:
ä ç æ
′ g(x) =t
f g(x) g (x) dx =
g ′ é
= f(t) dt
(x)dx = dt