Salvador Vera

4.7. FUNCIONES VECTORIALES Y MATRIZ JACOBIANA 269
bien determinada (y1,y2, ··· ,ym) deR m .Obien,entérminos vectoriales, una regla que
asocia a cada vector x de D, un vector bien determinado y de R m .
En otras palabras, una función vectorial es un vector cuyas componentes son funciones
escalares.
f =(f1,f2, ··· ,fm)
Es decir,
f : D⊆R n → R m
(x1,x2, ··· ,xn) ↦→ f1(x1,x2, ··· ,xn),f2(x1,x2, ··· ,xn), ··· ,fm(x1,x2, ··· ,xn) ¡
Por ejemplo, las curvas paramétricas pueden considerarse como funciones vectoriales de
R en R 2 .Así, si las ecuaciones paramétricas de una curva vienen definidas por:
x(t) =2t +3
y(t) =t − 5
las podemos interpretar como una función vectorial de la siguiente forma:
R f
−−−→ R 2 ¡
f(t) =(2t +3,t− 5) = x(t),y(t)
t ↦→ (2t +3,t− 5)
Por ejemplo, la función vectorial f(x, y) =(x +2,x− y, y + 4) viene definida por:
R2 f 3 −−−→ R f(x, y)=(x +2,x− y, y +4)=
(x, y) ↦→ (x +2,x− y, y +4) = f1(x, y),f2(x, y),f3(x, y)
Campos vectoriales. Se llaman campos vectoriales a las funciones vectoriales de R n en
sí mismo. Es decir, se llama campo vectorial (en R n ) a las funciones del tipo f : D R n →
R n . Una práctica para visualizar los campos vectoriales consiste en jugar con la naturaleza
“dual”de los elementos de R n ; los elementos del dominio x ∈Dse ven como puntos ylos
de la imagen f(x) comovectores. Elvectorf(x) se representa mediante una flecha que se
puede colocar en cualquier punto del espacio, sin embargo, para tener una visualización
del campo, la flecha se colocará de manera que su punto inicial sea el punto x.
4.7.2. Continuidad de las funciones vectoriales
Los conceptos de límite, continuidad y diferenciabilidad pueden extenderse a funciones
vectoriales. Estos conceptos siempre tienen dos visiones; una general que es más bien
teórica y consiste en la traslación de los conceptos unidimensionales a niveles vectoriales,
y otra por componentes que es más bien práctica y que consiste en trasladar los conceptos
a las funciones coordenadas.
Límite de una función vectorial
Definición 4.12. Sean f : D⊆R n → R m y x0 ∈D(siendo D un abierto de R n ); Se dice
que f tiene por límite ℓ, cuando x tiende a x0, si lím f(x) − ℓ =0
x→x0
Se escribe entonces lím f(x) =ℓ.
x→x0
Merece destacar que el límite vectorial se ha definido en términos numéricos. En efecto,
para cada x se tiene que f(x)−ℓ es un número, más preciso, la aplicación x →f(x)−ℓ
es una función numérica de D en R + , y es ya familiar el límite para estas funciones.
Bola. Cabe interpretar la definición de límite por medio de la noción de bola.
Definición 4.13. En R n , se llama bola abierta, de centro x0 ∈ R n y de radio r ∈ R ∗ +,al
conjunto de puntos x de R n tales que x − x0