Salvador Vera

3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR195
3.5.7. Aplicaciones de la Fórmula de Taylor al cálculo de
límites
Consiste en sustituir las funciones que intervienen en el límite por sus desarrollos
de Taylor. En la práctica, para simplificar los cálculos, solamente
se sustituyen por la parte del desarrollo de Taylor que realmente influye en
el límite. El problema será determinar cuántos términos del desarrollo se
deben utilizar.
sen x − x
Ejemplo 3.53. Calcular lím
x→0 x3 Solución.
sen x − x
lím
x→0 x3 = ä0ç
(x −
=lím
0 x→0
x3
+ ···) − x
6
x3 =lím
x→0
e
Ejemplo 3.54. Calcular lím
x→0
x − e−x − 2x
x − sen x
−x3 −1
=
6x3 6
Solución. Teniendo en cuenta los desarrollos de las funciones que intervienen:
e x =1+x+ x2
2
resulta,
lím
x→0
e x − e −x − 2x
x − sen x
=lím
x→0
x3
+
6 +··· e−x =1−x+ x2 x3
x3
− +··· sen x = x−
2 6 6 +···
1+x + x 2
ä0ç
= =
0
2
x3
+
6 + ··· − 1 − x + x2 x3
−
2 6 + ··· − 2x
x − x − x3
=
+ ···
6
Ejemplo 3.55. Calcular, si existe, el valor de lím
utilizando polinomios de Taylor.
x→0
=lím
x→0
2 x3
6
x 3
6
=2
1 − cos(x 2 )
x · sen x +2· cos x − 2
Solución. Teniendo en cuenta el desarrollo en series de potencias de las
funciones sen x ycosx,
sen x = x − x3
6
tenemos.
x5
x2 x4
+ −··· cos x =1− +
120 2 24 −···
cos x 2 =1− x4
2
+ x8
24 −···