Salvador Vera

4.10. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 321
y
3
2
1
• (x, y)
1 2
x
Figura 4.30: y =3− x 2
a = x · y
x 2 + y − 3=0
L(x, y, λ) =xy + λ(x 2 + y − 3)
de donde, los puntos críticos vendrán determinados
por las soluciones del sistema:
λ = −y
2x
λ = −x
Lx ≡ y +2xλ =0
Ly ≡ x + λ =0
Lλ ≡ x 2 + y − 3=0
−y
2x
= −x ⇒ y =2x2
x 2 +2x 2 − 3=0→ 3x 2 =3→ x 2 =1
Solución. La función a maximizar es el área del rectángulo, a = x · y.
La restricción viene determinada por el hecho de que el punto (x, y) debe
pertenecer a la parábola y =3− x 2 , luego tenemos:
Yalserx>0porser(x, y) un punto del primer cuadrante, resulta:
x =1 → y =2 → λ = −1
Luego el único punto crítico es el punto P (1, 2). Para determinar su naturaleza
estudiamos el signo del determinante:
De donde,
∆=
∆L(1, 2; −1) =
¬
0 gx gy
gx Lxx Lxy
gy Lyx Lyy
¬
¬ =
0 2x1 2x 2λ 1
1 2x0 ¬
¬
= −→mínimo
=+→ Máximo
=0→ duda
0
2
2
−2
1
1
1 1 0¬
=2+2+2=6> 0 ⇒ Máximo
4.10.5. Máximos y mínimos absolutos
Estamos interesados, ahora, en encontrar el valor máximo y el valor mínimo
que alcanza una función continua sobre un recinto cerrado y acotado.
Bajo estos supuestos, los extremos absolutos de la función, limitándonos a
dicho recinto, pueden producirse solamente en dos lugares diferentes; o bien,
en algún extremo relativo que es a su vez extremo absoluto; o bien, en el
contorno del recinto.
Si la función no es continua o el recinto no es cerrado y acotado, entonces, ni está garantizada
la existencia de los extremos absolutos, ni que esté situado en dichos lugares.