Salvador Vera

1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 17
de donde, tomando la raíz cuadrada positiva, ya que la distancia entre dos
puntos es un número positivo, resulta
d =
(x2 − x1) 2 +(y2 − y1) 2
Proposición 1.2 (Distancia entre dos puntos del plano). La distancia
d entre los puntos (x1,y1) y (x2,y2) viene dada por
d =
(x2 − x1) 2 +(y2 − y1) 2
b) En el espacio. Para hallar la distancia entre dos puntos del espacio,
(x1,y1,z1) y(x2,y2,z2), se aplica el teorema de Pitágoras dos veces y se
obtiene la siguiente fórmula
d =
(x2 − x1) 2 +(y2 − y1) 2 +(z2 − z1) 2
c) En el espacio n-dimensional. Se llama punto x de un espacio ndimensional
al conjunto ordenado (n-upla) de números reales (x1,x2, ··· ,xn)
El número xi se llama coordenada i-ésima del punto x; i =1, 2,...,n.
Definición 1.9 (Distancia entre dos puntos de Rn ). La distancia
entre dos puntos x = (x1, ··· ,xn) e y = (y1, ··· ,yn) se define por la
fórmula
d(x, y) = (x1 − y1) 2 + ···+(xn − yn) 2 (1.1)
Ejemplo1.17(Distancia entre dos puntos). Hallar la distancia:
a) Entre los puntos (−2, 4) y (2, 1).
b) Entre los puntos (2, 2, 3) y (3, 4, 5).
Solución. Aplicando, en cada caso, la fórmula (1.1), resulta
a) d = [2 − (−2)] 2 +(1− 4) 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5
b) d = (3 − 2) 2 +(4− 2) 2 +(5− 3) 2 = √ 1+4+4= √ 9=3
1.2.3. El círculo y la esfera
a) La circunferencia en el plano. Teniendo en cuenta que la circunferencia
de centro (x0,y0) yradior está formada por los puntos del plano cuya
distancia al centro (x0,y0) eselradior, resulta
Proposición 1.3 (Ecuación de la circunferencia). El punto (x, y)
está en la circunferencia de centro (x0,y0) y radio r si y sólo si
(x − x0) 2 +(y − y0) 2 = r 2
(1.2)