Salvador Vera

80 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
o bien, de manera general
lím
x→x0
1/h(x) 1+h(x) = e, si lím h(x) =0
x→x0
Nota: Estos límites se resuelven en la sección 3.3.3 (pág. 177) mediante las reglas de
L’Hôpital.
Ejemplo 1.55. Calcular: lím x − 3
x→4
2
x − 4
Solución. Si hacemos la sustitución directa nos encontramos con una indeterminación
del tipo 1∞ .Ellímite se resuelve mediante el número e de la
siguiente forma
lím x − 3
x→4
2
x − 4 =lím
x→4
1+(x− 4)
1 2
x − 4 = e 2
d) Teorema del encaje y de la acotación. Si una función está comprendida,
en los alrededores de un punto, entre dos que tienen el mismo límite,
en dicho punto, entonces dicha función también tiene el mismo límite en
dicho punto.
f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)
lím f(x) = lím g(x)
⇒ lím h(x) = lím f(x) = lím g(x)
x→x0 x→x0 x→x0
x→x0 x→x0
Teorema 1.10 (Teorema del encaje). Si f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo
x en un entorno de x0, excepto quizás en el propio x0, ysi
lím f(x) =ℓ = lím g(x)
x→x0
x→x0
entonces
lím h(x) =ℓ
x→x0
Demostración. Dado ε>0 existen δ1 y δ2 tales que
y
|f(x) − ℓ|