Salvador Vera

4.10. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 323
el mayor será elmáximo y el menor el mínimo.
f(0, 0) = 0
f(3, 0) = 9
f(−1, 0) = 1
mínimo
Máximo
Para determinar los máximos y mínimos absolutos de una función continua
en un intervalo cerrado y acotado no es necesario determinar la naturaleza
de cada uno de los puntos críticos.
Ejemplo 4.77. Determinar los extremos absolutos de la función
f(x, y) =x 2 +3y 2 en el recinto x 2 − 2x + y 2 − 3 ≤ 0.
Solución. Localizamos el recinto expresando la ecuación en forma canónica
(x − 1) 2 + y 2 ≤ 4, luego se trata del círculo C con centro en el punto C(1, 0)
y radio 2.
Se trata de una función continua definida en un recinto cerrado y acotado,
luego alcanzará unmáximo y un mínimo en dicho recinto. Para encontrarlos
seguimos los siguientes pasos:
(a) En primer lugar determinamos los puntos críticos del interior del recinto,
igualando a cero las derivadas parciales.
fx ≡ 2x =0 x =0
P1(0, 0) ∈C
fy ≡ 6y =0 y =0
(b) En segundo lugar determinamos los puntos críticos en la frontera del
recinto, para ello construimos la función lagrangiana:
y buscamos sus puntos críticos:
Lx ≡ 2x +2λx − 2λ =0
Ly ≡ 6y +2λy =0
Lλ ≡ x 2 − 2x + y 2 − 3=0
L(x, y, λ) =x 2 +3y 2 + λ(x 2 − 2x + y 2 − 3)
x + λx − λ =0
3y + λy =0 →
x 2 − 2x + y 2 − 3=0
λ = −3 → x =3/2
y =0
x =3
x = −1
Para x = 3
9
2 , resulta, de la tercera ecuación, 4 − 3+y2 − 3 = 0, de donde,
y2 =6− 9 15
4 = 4 , y en consecuencia y = ± 15
4
Luego los puntos críticos del contorno son:
P2(3, 0), P3(−1, 0), P4( 3
2 , 15 3
4 ), P5( 2 , − 15
4 ).
(c) Comparamos los valores de la función en cada uno de los puntos críticos,
el mayor será elmáximo y el menor el mínimo.
f(0, 0) = 0 → mínimo
f(3, 0) = 9
f(−1, 0) = 1
f 3
2 , 15
4
f 3
2 , − 15
4
9 45 = 4 + 4
9 =
4
+ 45
4
= 54
4
= 54
4
→ Máximo
→ Máximo