Salvador Vera

356CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS
5.5. Integración por partes.
Integrando la diferencial del producto de dos funciones d(uv)=vdu+udv
resulta, Ê d(uv)= Ê vdu+ Ê udv , de donde, uv = Ê vdu+ Ê udv .Esto
nos permite expresar una de las dos integrales en función de la otra:
udv = uv− vdu
La constante de integración sólo se añade al final del proceso.
Si la integral fuera definida, sería:
b
f(x)g
a
′ b (x) dx = f(x)g(x)
a −
b
f
a
′ (x)g(x) dx
Ejemplo 5.47. Hallar la integral x sen xdx
Solución.
u = x
x sen xdx=
dv =senxdx
Ejemplo 5.48. Hallar la integral
du = dx
=
v = − cos x
= −x cos x + cos xdx= −x cos x +senx + C
x 3 1+x 2 dx
Solución. En este ejemplo la elección de u y dv no resultan evidentes.
Forzamos la situación para que el dv elegido sea fácil de integrar.
de donde,
u = x 2
dv = x √ 1+x 2 dx
du =2xdx
v = Ê x √ 1+x2
dx =
√ 1+x2 2xdx
2
con lo que resulta,
x 3 1+x 2 dx = x2 (1 + x 2 ) 3/2
= x2 (1 + x 2 ) 3/2
3
− 1
3
3
(1 + x 2 ) 5/2
5/2
Ejemplo 5.49. Hallar la integral
= (1 + x2 ) 3/2
2 · 3/2
− 1
2 3/2
(1 + x ) 2xdx =
3
= 1
3 x2 (1 + x 2 ) 3/2 − 2
ln xdx
= 1
3 (1 + x2 ) 3/2
15 (1 + x2 ) 5/2 + C