Salvador Vera

2.2. LÍMITE Y CONTINUIDAD 145
Ejemplo 2.43. Demostrar que el siguiente límitenoexiste.
Solución.
lím
x→x0
lím
y→y0
ä lím
y→y0
x=x0
ä lím
x→x0
y=y0
x2 − y2 x2 + y2 ç
= lím
x→x0
x 2 − y 2
x 2 + y 2
Luego el límite doble no existe.
x
lím
(x,y)→(0,0)
2 − y2 x2 + y2 ç = lím
y→y0
äx2 − 0
x2 ç ä ç
= lím 1 =1
+0 x→x0
ä0 − y 2
0+y 2
ç = lím
x→x0
ä − 1 ç = −1
Ejemplo 2.44. Demostrar que el siguiente límite existe, y sin embargo no
existen ninguno de los iterados.
1 1
lím (x sen + y sen
(x,y)→(0,0) y x )
Solución. El límite doble existe.
1
lím (x sen
(x,y)→(0,0) y
1
+ y sen )=0· Ac + 0 · Ac = 0 + 0 = 0
x
Mientras que los iterados no existen, en efeco
ä
lím lím (x sen
x→x0 y→y0
x=x0
1 1
+ y sen
y x )ç = lím
x→x0
ä
lím lím (x sen
y→y0
1 1
+ y sen
y x )ç = lím
x→x0
x→x0
y=y0
2.2.10. Límites en el infinito
ä No definido + 0 ç = No definido
ä 0 + No definido ç = No definido
Se trata de ver el comportamiento de la función en el contorno de una
circunferencia de radio infinito.
Ejemplo 2.45. Calcular los siguientes límites.
Solución.
1. lím
x→∞
y→∞
2. lím
x→∞
y→∞
1. lím
x→∞
y→∞
1
x2 1
=
+ y2 ∞ =0
e −(x2 +y 2 ) = lím
x→∞
y→∞
1
x 2 + y 2
1
e (x2 +y 2 )
2. lím e
x→∞
y→∞
−(x2 +y2 )
1 1
= =
e∞ ∞ =0
Ejemplo 2.46. Representa la función: f(x, y) =e −(x2 +y 2 )