Salvador Vera

1.1. LA RECTA REAL 11
a) x 2 − 2x − 8 ≥ 0. En este caso resulta la ecuación: x 2 − 2x − 8=x +2.
En consecuencia tenemos que resolver el sistema
x 2 − 2x − 8 ≥ 0
x 2 − 3x − 10 = 0
Para ello resolvemos la ecuación y comprobamos las soluciones en la inecuación.
Así,
x 2 − 3x − 10 = 0 → x = 3 ± √ 9+40
=
2
3 ± 7
2 =
5
−2
de donde,
x =5⇒ 5 2 − 2 · 5 − 8=25− 10 − 8=7> 0,
x = −2 ⇒ (−2) 2 − 2 · (−2) − 8=4+4− 8=0.
Luego las dos soluciones son válidas.
b) x 2 − 2x − 8 < 0. En este caso resulta la ecuación: −x 2 +2x +8=x +2.
En consecuencia tenemos que resolver el sistema
x 2 − 2x − 8 < 0
x 2 − x − 6=0
Para ello resolvemos la ecuación y comprobamos las soluciones en la inecuación.
Así,
x 2 − x − 6=0 → x = 1 ± √ 1+24
=
2
1 ± 5
2 =
3
−2
de donde,
x =3⇒ 3 2 − 2 · 3 − 8=9− 6 − 8=−5 < 0,
x = −2 ⇒ (−2) 2 − 2 · (−2) − 8=4+4− 8=0.
En este caso la primera solución es valida y la segunda no. No obstante,
x = −2 es valida, por el caso anterior.
En consecuencia las soluciones de la ecuación inicial son x = −2, x =3
y x =5.
Ejemplo 1.11. Resolver la ecuación x 2 − 4|x|−5=0
Solución. En este ejemplo, para liberarnos del módulo podemos considerar
sucesivamente los dos casos x ≥ 0yx