Salvador Vera

4.10. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 317
b) Si buscamos un máximo: el último.
Nota: Este método es utilizado en programación lineal para determinar la solución optima
de una función objetivo sujeta a un conjunto de restricciones.
Ejemplo 4.73. Hallar el mínimodelafunción f(x, y) =x 2 + y 2 condicionado
por la restricción x + y − 1=0, mediante las curvas de nivel.
Solución. Consideramos las curvas de nivel de la función f(x, y) =x 2 + y 2 .
Para ello sustituimos f(x, y) porz, y consideramos que z es un número, en
cuyo caso tenemos que las curvas de nivel vienen definidas por
x 2 + y 2 = z
luego se trata de circunferencias con centro en el origen de coordenadas y
radio √ z, y al crecer z, las circunferencias se alejan del origen.
❅■
❅
✠
✻ y
✒
❅ ❅❘
✲ x
✲x ✻ y
❅
❅
❅
❅
❅
❅
Figura 4.28: Cálculo de extremos mediante curvas de nivel
La primera circunferencia que toca a la recta de ecuación x + y − 1=0
lo hace en el punto (1/2, 1/2). Luego ese punto corresponde al menor valor
de z, paraelcual(x, y) estáenuna curva de nivel y en la restricción. En
consecuencia el mínimo solicitado es f(1/2, 1/2) = 1/2.
La situación en el espacio puede verse mediante el siguiente gráfico
z
x
p( 1
2
f(x, y) =x 2 + y 2
y
x + y − 1=0
1
, 2 )
Figura 4.29: Cálculo de extremos mediante curvas de nivel
Método de los multiplicadores de Lagrange.
En el método gráfico de las curvas de nivel se trata de encontrar el punto
(x, y) donde la curva de nivel de la superficie de ecuación z = f(x, y) es
tangente a la curva de ecuación g(x, y) = 0. Ahora bien, dos curvas son
tangentes si sus vectores normales son paralelos. En consecuencia, dado que