Salvador Vera

204 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Ejemplo 3.64. Hallar a, b, c y d para que la función f(x) =ax 3 + bx 2 +
cx + d tenga un mínimo relativo de valor −3 en x =0yunmáximo relativo
de valor 4 en x =1.
Solución.
f(0) = −3
Mínimo relativo de valor −3 enx =0 →
f ′ (0) = 0
f(1) = 4
Máximo relativo de valor 4 en x =1 →
f ′ (1) = 0
Hallando la derivada f ′ (x) = 3ax 2 +2bx + c, y sustituyendo, resulta el
sistema de ecuaciones:
d = −3
c =0
a + b + c + d =4
3a +2b + c =0
d = −3
c =0
a + b =7
3a +2b =0
d = −3
c =0
a + b =7
a = −14
luego la función buscada es: f(x) =−14x 3 +21x 2 − 3.
d = −3
c =0
b =21
a = −14
Ejemplo 3.65. Hallar a, b y c tales que la gráfica de la función f(x) =
ax 3 + bx 2 + cx tenga una tangente horizontal en el punto de inflexión (1, 1).
Solución.
Pasa por el punto (1, 1) → f(1) = 1
Tangente horizontal en (1, 1) → f ′ (1) = 0
Punto de inflexión en (1, 1) → f ′′ (1) = 0
Hallando la primera y segunda derivada f ′ (x) =3ax 2 +2bx + c, f ′′ (x) =
6ax +2b y sustituyendo, resulta el sistema de ecuaciones:
a + b + c =1
3a +2b + c =0
6a +2b =0
c =1− a − b
2a + b = −1
3a + b =0
c =1− a − b
b = −1 − 2a
a =1
luego la función buscada es: f(x) =x 3 − 3x 2 +3x.
c =3
b = −3
a =1
3.6.4. Problemas de aplicación de máximos y mínimos
Para resolver problemas de máximos y mínimos con enunciado es conveniente
seguir los siguientes pasos:
1. Asignar letras a todas las magnitudes que intervienen e intentar relacionarlas
entre sí. (Según se asignen las letras, la resolución del problema
puede resultar más fácil o más difícil. A veces conviene contar
con los ángulos).
2. Preguntarse ¿qué es lo que hay que hacer máximo o mínimo?. Esa
magnitud es la que hay que derivar.