Salvador Vera

232 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
luego:
de donde,
fx =2x +3y 2
fy =6xy
fx(1, 2) = 2 + 12 = 14
fy(1, 2) = 12
∂f
∂u (p) =fx(p) · u1 + fy(p) · u2 = −14
√ +
5 −24
√ =
5 −38
√
5
2. En el ejemplo 4.18 tenemos los siguientes datos:
1
f(x, y) =xyz, p(1, 0, −1) y u = √3 , 1
√ ,
3 1
√
3
luego:
de donde,
fx = yz
fy = xz
fz = xy
fx(1, 0, −1) = 0
fy(1, 0, −1) = −1
fz(1, 0, −1) = 0
∂f
∂u (p) =fx(p) · u1 + fy(p) · u2 + fz(p) · u3 =0+ −1
√ +0=
3 −1
√
3
Derivada direccional y continuidad. La existencia de todas las derivadas
direccionales de una función en un punto no garantiza la continuidad de
la función en dicho punto, ya que el cálculo de las derivadas direccionales
equivale a acercarse al punto sólo mediante rectas.
Ejemplo 4.21. Estudiar la continuidad y calcular todas las derivadas direccionales
en el punto p(0, 0) de la función f : R2 → R definida por:
Solución.
f(x, y) =
x 2 y
x 4 + y 2
si (x, y) = (0, 0)
0 si (x, y) =(0, 0)
1. Continuidad: La función no es continua en el punto p(0, 0), ya que no
existe el límite en dicho punto. En efecto, si nos acercamos al punto
mediante las parábolas y = ax 2 resulta:
lím
(x,y)→(0,0)
x2y x4 = lím
+ y2 (x,y)→(0,0)
y=ax2 x→0
x2ax2 x4 + a2 =lím
x4 x→0
a a
=
1+a2 1+a2 luego el límite no existe ya que depende del valor de a. Es decir, según
la parábola por la que nos aproximemos al punto tendríamos un valor
del límite u otro.