Salvador Vera

1.5. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 61
De la tabla se desprende que cuando x se acerca a 0, tanto por la derecha
como por la izquierda, f(x) crece sin límite. Es más, podemos hacer que
f(x) crezca cuanto queramos sin más que acercarnos suficientemente al origen.
Así, por ejemplo, si queremos que f(x) sea mayor que 100 000 000,
bastará tomar un valor de x menor que 1/10 000. En efecto,
0 < |x| < 1
10 000
1
⇒ f(x) = > 100 000 000
x2 Como f(x) no se aproxima a ningún número real cuando x se acerca a 0,
decimos que el límite no existe. La gráfica de la función f viene reflejada en
la figura 1.28
−6
−4
−2
y
6
4
2
2 4 6
1
Figura 1.28: lím = No existe
x→0 x2 Nota: Aunque el límite no existe, como número real, la situación reflejada en este ejemplo
es lo suficientemente importante y lo suficientemente frecuente en Cálculo, como para
tenerla en especial consideración. Así, en las situaciones del ejemplo anterior se dice que
el límite de la función cuando x tiende a cero, es infinito, y se expresa
1
lím =+∞
x→0 x2 No obstante hay que decir que +∞ no es ningún número real, sino que es un símbolo que
se utiliza para reflejar el comportamiento no acotado de la función.
Ejemplo 1.45 (Comportamiento oscilante). Discutir la existencia del siguiente
límite
lím
x→0 sen
1
x
Solución. Consideremos la función
f(x) =sen
1
x
Su gráfica viene representada en la figura 1.29.
El límite no existe, puesto que siempre es posible coger una sucesión de
puntos, con límite cero; y sin embargo, la sucesión formada con sus imágenes
no tiene límite.
{xn} →0 y sin embargo {f(xn)} no tiene límite
como puede verse en la siguiente tabla
x