Salvador Vera

202 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Concavidad. Puntos de inflexión.
Una función, derivable en un intervalo, se dice que es cóncava hacia arriba
sobre dicho intervalo si su derivada es creciente y cóncava hacia abajo si su
derivada es decreciente.
Los puntos en los que la concavidad cambia de sentido se llaman puntos de
inflexión.
f ′ ↑⇒ f
f ′ ↓⇒ f
Criterio de la derivada segunda.
f ′′ =+ ⇒ f ′ ↑⇒f Ë
f ′′ = − ⇒ f ′ ↓⇒f Ì
f ′′ =0 ⇒ ¿?
x0,f(x0) punto de inflexión ⇒
f ′′ (x0) =0
ó
f ′′ (x0) no definido
Aplicaciones de la fórmula de Taylor para el estudio de máximos
ymínimos.
Desarrollemos, mediante el n-simo polinomio de Taylor, la función f en el
punto x0
f(x) =f(x0)+f ′ (x0)(x−x0)+ f ′′ (x0)
2!
(x−x0) 2 +···+ f (n−1) (x0)
(n − 1)!
(x−x0) n−1 + f (n) (c)
(x−x0)
n!
n
supongamos que la primera derivada de la función f que no se anula en el
punto x0 es de orden n. Será:
de donde,
f ′ (x0) =0
.
f (n−1) (x0) =0
f(x) =f(x0)+ f (n) (c)
n!
f(x) − f(x0) = f (n) (c)
(x − x0)
n!
n
(x − x0) n
Como c está entrex0 y x, tomando x suficientemente próximo a x0 podemos
suponer que el signo de f (n) (c) coincide con el signo de f (n) (x0), de donde:
n par
(x − x0) n
f (n) (x0) =+⇒ f(x) − f(x0) > 0 → mínimo
=+ f (n) n impar
(x − x0)
(x0) =−⇒f(x) − f(x0) < 0 → Máximo
n = ±
⇒ f(x) − f(x0) =±→inflexión
f (n) (x0) =+
f (n) (x0) =−