Salvador Vera

2.2. LÍMITE Y CONTINUIDAD 143
afirmar que dicho límite exista.
y + e
lím
(x,y)→(0,0)
x − 1
y + x =[0
0 ]=lím
mx + e
x→0
x − 1
mx + x =[0
0 ]=
y al ser de una variable podemos aplicar L’Hôpital, con lo cual
m + e
=lím
x→0
x
m +1
m +1
= =1 param = −1
m +1
Sin embargo, si nos aproximamos al punto (0, 0) mediante la parábola
y = x 2 − x resulta que el límite, de existir, debería de valer 3/2, en efecto
y + e
lím
(x,y)→(0,0)
x − 1
x 2 − x + e x − 1
x 2 − x + e x − 1
y + x =lím
x→0 x2 − x + x =lím
x→0 x2 y al ser de una variable podemos aplicar L’Hôpital, de donde
2x − 1+e
=lím
x→0
x
2x
=[ 0
0 ]=lím
2+e
x→0
x
2
= 3
2
Con lo cual podemos afirmar que el límite propuesto no existe.
=[ 0
0 ]=
Hemos utilizado la parábola y = x 2 − x y no otra, por la siguiente razón.
Supongamos que nos acercamos al punto (0, 0) mediante la curva y = g(x),
y que aplicamos sucesivamente L’Hôpital, y queremos que resulte
g(x)+e
=lím
x→0
x − 1
g(x)+x =[0
0 ]=lím
g
x→0
′ (x)+ex g ′ (x)+1 =[0
0 ]=lím
g
x→0
′′ (x)+ex g ′′ (x)
Para ello tendrá queser
queseconsiguecon
g(0) = 0, g ′ (0) = −1, g ′′ (0) = 0
g ′′ (x) =2→ g ′ (x) =2x − 1 → g(x) =x 2 − x
Nota: La determinación del polinomio p(x) que cumple las condiciones dadas, es inmediata
a partir del polinomio de Taylor en el origen (Teorema 3.6 de la pág 185)
p(x) =p(0) + p ′ (0)x + p′′ (0)
2 x2
de donde, para p ′′ (0) = 2 resulta
p(x) =0− x + x 2 = x 2 − x
Ejemplo 2.42. Calcular, si existe, el valor del siguiente límite:
y +senx
lím
(x,y)→(0,0) y + x
Solución. Si nos aproximamos al punto (0, 0) mediante rectas y = mx obtenemos
que el límite, de existir, debería de valer 1. Pero esto no nos permite
afirmar que dicho límite exista.
= 1