Salvador Vera

188 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
pase por el punto x0,f(x0) , que pase con la misma pendiente que la función
f, que pase con la misma concavidad, etc... Es evidente que en cuanto en
más condiciones coincidan la función f y la función polinómica pn a su paso
por el punto (x0,y0), en más se aproximarán al alejarnos del punto.
Por eso, la función polinómica de aproximación deberá cumplir:
pn(x) ≈ f(x) ⇐⇒
pn(x0) =f(x0) Las dos pasan por el punto (x0,y0)
p
′ n(x0) =f ′ (x0) Las dos pasan por (x0,y0) con la misma pendiente
p ′′ n(x0) =f ′′ (x0) Las dos pasan por (x0,y0) con la misma concavidad
···
p (n)
n (x0) =f (n) (x0) Las dos pasan por (x0,y0) con otras coincidencias
Un polinomio que cumpla estas condiciones es fácil encontrar mediante la
fórmula de Taylor, en efecto:
pn(x) =pn(x0)+p ′ n(x0)(x − x0)+ p′′ n(x0)
2!
(x − x0) 2 + ···+ p(n) n (x0)
(x − x0)
n!
n
Y teniendo en cuenta los valores asignados al polinomio resulta:
pn(x) =f(x0)+f ′ (x0)(x − x0)+ f ′′ (x0)
2!
(x − x0) 2 + ···+ f (n) (x0)
(x − x0)
n!
n
Un polinomio, así construido, es de esperar que se aproxime suficientemente
a la función f, al menos en los alrededores del punto x0, ytambién cabe
esperar que cuanto mayor sea el grado n del polinomio mayor será laaproximación.
Por lo que podemos asegurar que:
f(x) ≈ f(x0)+f ′ (x0)(x − x0)+ f ′′ (x0)
2!
Que se puede expresar de la forma:
f(x) ≈ pn(x) =
n
k=0
(x − x0) 2 + ···+ f (n) (x0)
(x − x0)
n!
n
f (k) (x0)
(x − x0)
k!
k
y es el polinomio de Taylor para una función no polinómica.
Observaciones:
1. El n-simo polinomio será degrado≤ n, yaqueelúltimo coeficiente
puede ser cero, al haberlo definido como f (n) (x0), y la función f no es
polinómica, por lo que su derivada puede tomar cualquier valor.
2. El primer polinomio de Taylor siempre coincide con la recta tangente
a la curva dada en el punto x0. En efecto, y = f(x0)+f ′ (x0)(x − x0)
es la ecuación de la recta tangente.