Salvador Vera

124 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: LÍMITES
y, en general, de todas las funciones elementales en todos los puntos en los
que están definidas.
Es decir, todas las funciones elementales son continuas en todos los puntos
en los que están definidas, luego para calcular el límite de una función
elemental en un punto (x0,y0) enelqueesté definida bastará sustituir x e y
por x0 e y0, respectivamente. El problema estará en los puntos en los que la
función no esté definida. Por lo tanto, al calcular un límite lo primero que
intentaremos es la sustitución directa, y sólo en el caso de que nos encontremos
con una indeterminación intentaremos romperla por algún método.
En dos variables no tienen sentido las reglas de L´Hopital
Ejemplo 2.19 (Calculando límites por sustitución directa). Calcular los siguientes
límites:
1. lím xy =6
(x,y)→(2,3)
2. lím
(x,y)→(2,−3)
arc sen
3. lím
(x,y)→(0,1)
x
y
1+xy
xy
x2 −6 −6
= =
+ y2 4+9 13
= arc sen 0
1+0
= 0
1 =0
4. lím y sen xy =2senπ
(x,y)→(π/4,2) 4 2=2senπ
2
=2· 1=2
Ejemplo2.20(Hallando la discontinuidad). Hallar los puntos de discontinuidad
de la función:
xy +1
f(x, y) =
x2 − y
Solución. Al tratarse de una función racional será continua en todos los puntos
en los que está definida. Es decir, la continuidad coincide con el dominio
de la función. En consecuencia, al ser un cociente, será discontinua en aquellos
puntos que hacen cero el denominador. x2 − y =0⇒ y = x2 luego, la
función es discontinua a lo largo de la parábola y = x2 Ejemplo 2.21. Hállense los puntos de discontinuidad de la función:
f(x, y) =cos 1
xy
Solución. El único problema que presenta la función es en el cociente, donde
el denominador debe ser distinto de 0. Teniendo en cuenta que xy = 0 cuando
x = 0 (eje OY) o cuando y = 0 (eje OX). La función será discontinua en los
dos ejes de coordenadas.