Salvador Vera

2.2. LÍMITE Y CONTINUIDAD 135
La z puede ser cualquier función. Lo importante es que toda la función
tienda a cero, aunque (x, y) tienda a un valor distinto de (0, 0). Así, por
ejemplo,
si lím f(x, y) =0 ⇒
(x,y)→(x0,y0)
sen
⇒ lím
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) g(x, y)
f(x, y)g(x, y)
= lím
h(x, y)
(x,y)→(x0,y0) h(x, y)
Ejemplo2.32(Calculando límites mediante infinitésimos). Calcula los siguientes
límites.
sen(xy)
xy
1. lím
= lím
(x,y)→(0,2) x (x,y)→(0,2) x
= lím y =2
(x,y)→(0,2)
e
2. lím
(x,y)→(0,0)
tg(x2y) − 1
2sen(x2 tg(x
= lím
y) (x,y)→(0,0)
2y) 2x2 x
= lím
y (x,y)→(0,0)
2y 2x2y 3. lím
(x,y)→(1,1)
4. lím
(x,y)→(0,0)
1 − cos(x2 − y)
(x − √ = lím
y) 2
(x,y)→(1,1)
(x
= lím
(x,y)→(1,1)
2 − y) 2 (x + √ y) 2
2(x2 − y)
exy − 1
xy
= lím
sen x ln(1 + y) (x,y)→(0,0) xy
sen x sen(3y)
x3y
5. lím
= lím
(x,y)→(0,0) 2xy (x,y)→(0,0) 2xy
(x2 − y) 2
2(x − √ =
y) 2
(x +
= lím
(x,y)→(1,1)
√ y) 2
2
= lím
(x,y)→(0,0) 1=1
= 3
2
= 1
2
= 4
2 =2
(y
6. lím
(x,y)→(0,1)
2 +2y − 3)(1 − cos x)
x2 (y − 1)(y +3)x
= lím
(y − 1)
(x,y)→(0,1)
2 /2
x2 (y − 1)
(1 − cos 2x)(cos 3y − 1)
7. lím
(x,y)→(0,0) 5x2 = lím
y
(x,y)→(0,0)
(e
8. lím
(x,y)→(0,0)
x − 1)(e2y − 1)
x2y
= lím
xy
(x,y)→(0,0) xy =2
= lím
(x,y)→(0,1)
y +3
2
4x2 9y2
2 (− 2 )
5x2 =
y
= lím
(x,y)→(0,0)
ln x tg(y − 1)
Ejemplo 2.33. Calcular el siguiente límite: lím
(x,y)→(1,1) xy − x − y +1
=
= 4
2 =2
−9y
5 =0