Salvador Vera

4.9. FUNCIONES IMPLÍCITAS 301
cero en (x0,y0), es decir, Fx(x0,y0) = 0. Entonces, el teorema de la función
implícita garantiza la existencia de una función x = g(y) tal que x0 = g(y0),
para y en una vecindad de y0, y además su derivada, en esa vecindad, es:
dx
dy = g′ (y) = −Fy(x, y)
Fx(x, y)
Es evidente que si en el punto (x0,y0) setiene
Fx(x0,y0) = 0 y Fy(x0,y0) = 0
entonces el teorema de la función implícita nos dice que en los alrededores
de (x0,y0), la gráfica de la curva F (x0,y0) =0sepuedevercomolagráfica
de una función y = f(x) o bien como la gráfica de una función x = f(y).
Puntos regulares. Si z = F (x, y) es una función tal que F (x0,y0) =0
y en una bola B con centro en (x0,y0) las parciales Fx y Fy son continuas
ysiFx(x0,y0) = 0ó Fy(x0,y0) = 0 (o equivalentemente si Fx(x0,y0) 2 +
Fy(x0,y0) 2 = 0) entonces (x0,y0) se dice que es un punto regular de la
curva F (x, y) =0.
Es decir, los puntos regulares son aquellos puntos (x0,y0) tales que en una
bola con centro en ellos, a partir de F (x, y) = 0, se puede despejar x o y en
términos de y o x, respectivamente, y establecer una función con derivada
continua x = g(y) ó y = g(x).
Si el punto (x0,y0) no es regular de F (x, y) = 0, se dice que es un punto
singular.
4.9.2. Funciones de dos variables
Dada una ecuación F (x, y, z) = 0 nos planteamos ahora la cuestión de
¿cuándo de dicha expresión se puede despejar z en términos de x e y y formar
así una función z = f(x, y)? Es decir, ¿cuándo el nivel cero, F (x, y, z) =0,
de la función w = F (x, y, z) se puede ver como la gráfica de una función
z = f(x, y)?
Planteamiento práctico. Supongamos la ecuación F (x, y, z) = 0, si supiéramos
despejar z en términos de x e y, tendríamos z = f(x, y), y podríamos
calcular ∂z ∂z
=? y
∂x ∂y =?.
F (x, y, z) =0 → z = f(x, y) →
∂z
∂x =?
∂z
∂y =?
El problema se presenta cuando no sabemos o no queremos despejar z en
términos de x e y ¿cómo podemos calcular dichas derivadas?.